Use integral tripla para calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e v+z=3

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e v+z=3. Aqui interpretamos v como a coordenada y, então o plano superior é y+z=3. Para achar o volume, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r. O cilindro x^{2}+y^{2}=4 vira r=2, e a projeção no plano xy é o disco
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Os planos em z dão os limites verticais: o inferior é z=0 e o superior vem de y+z=3, ou seja
z = 3 - y = 3 - r\sin\theta.

Passo 4

A integral do volume fica
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{\,3 - r\sin\theta} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{3 - r\sin\theta} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{3 - r\sin\theta} = r\,(3 - r\sin\theta).

Passo 6

Então sobra
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(3r - r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 7

Integramos em r:
\int_{0}^{2}(3r)\,dr = 3\cdot\frac{2^{2}}{2}=6, \quad \int_{0}^{2}(r^{2}\sin\theta)\,dr = \sin\theta\cdot\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}\sin\theta.
Logo o integrando em \theta é 6 - \tfrac{8}{3}\sin\theta.

Passo 8

Agora em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}\Bigl(6 - \tfrac{8}{3}\sin\theta\Bigr)\,d\theta = 6\cdot2\pi - \tfrac{8}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 12\pi - \tfrac{8}{3}\cdot 0 = 12\pi.

Resposta

O volume do sólido é 12\pi.

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