QUESTÃO 1:
Determine o raio e as coordenadas do centro de uma circunferência de equação x^{2}+y^{2}-6 x+8 y=11.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma circunferência
x^{2}+y^{2}-6x+8y=11
e pede o centro e o raio. O conteúdo é geometria analítica: vamos completar o quadrado em x e em y para passar à forma padrão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
de onde extraímos o centro (h,k) e o raio r.

Passo 2

Reagrupamos termos em x e em y:
x^{2}-6x \;+\; y^{2}+8y \;=\;11.

Passo 3

Agora, completamos o quadrado em cada grupo:
- Para x:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9.
- Para y:
y^{2}+8y = (y+4)^{2}-16.
Substituindo na equação original:
(x-3)^{2}-9 \;+\;(y+4)^{2}-16 = 11.
Somando as constantes do lado esquerdo: -9-16=-25, temos
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}-25 = 11 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2}+(y+4)^{2} = 36.

Passo 4

Na forma padrão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}
vemos que
h=3,\quad k=-4,\quad r^{2}=36\;\Longrightarrow\;r=6.

Resposta

O centro é (3,-4) e o raio é 6.

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