Questão 1. Identifique as superfícies dadas pelas parametrizações abaixo, onde
((u, v) \in \mathbb{R}^{2}) e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
\vec{r}(u, v)=\left(u^{5}+5, u^{5}+5, v\right). Resposta: plano x=y;

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
\vec r(u,v)=\bigl(u^5+5,\;u^5+5,\;v\bigr)
com (u,v)\in\mathbb R^2 e pede para identificar a superfície descrita. O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies por eliminação de parâmetros: transformamos a escrita paramétrica numa equação cartesiana.

Passo 2

Para cada (u,v) temos
x = u^5 + 5,\quad y = u^5 + 5,\quad z = v.
Note que as duas primeiras coordenadas são iguais para todo u, ou seja,
x = y.

Passo 3

Como não há nenhuma restrição sobre v, a coordenada z varia livremente. A única condição é x = y. Essa é exatamente a equação cartesiana de um plano em \mathbb R^3:
x = y,\quad z\in\mathbb R.

Resposta

A superfície é o plano \,x=y.

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