Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \ln (x)+3 e^{x-1}}{5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1}\frac{2\ln(x)+3e^{x-1}}{5x+1}.
O conteúdo envolve limites de funções elementares e uso da propriedade de continuidade: se o numerador e o denominador são contínuos em x=1 e o denominador não se anula, podemos usar substituição direta.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. As funções \ln(x), e^{x-1} e 5x+1 são contínuas em todo \mathbb{R} (para \ln, em x>0). Em x=1, o denominador vale 5\cdot1+1=6\neq0, logo podemos aplicar substituição direta.

Passo 3

Calculamos o valor do numerador em x=1:
2\ln(1)+3e^{1-1}=2\cdot0+3\cdot1=3.

Passo 4

Calculamos o valor do denominador em x=1:
5\cdot1+1=6.

Passo 5

O limite é a razão entre esses valores:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}

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