Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (4 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(4x)}{x^{2}}.
Temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica para 1-\cos e o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Aplicando a identidade
1-\cos\theta = 2\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)
com \theta=4x, obtemos
1-\cos(4x)=2\sin^{2}(2x).
Substituindo no limite, temos
\frac{1-\cos(4x)}{x^{2}} =\frac{2\sin^{2}(2x)}{x^{2}} =2\Bigl(\frac{\sin(2x)}{x}\Bigr)^{2}.
Podemos reescrever
\frac{\sin(2x)}{x} =\frac{2\sin(2x)}{2x},
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2\Bigl(\frac{\sin(2x)}{x}\Bigr)^{2} =2\Bigl(\frac{2\sin(2x)}{2x}\Bigr)^{2} =8\Bigl(\frac{\sin(2x)}{2x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Quando x\to 0, temos 2x\to 0 e
\lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{\sin(2x)}{2x}\Bigr)^{2} =\bigl(\lim_{u\to 0}\tfrac{\sin u}{u}\bigr)^{2} =1^{2}=1.
Portanto o limite original vale
8\cdot 1 = 8.

Resposta

8

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