Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(5 x)}{\operatorname{sen}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{\sin(2x)}.
O conteúdo principal é limites de funções trigonométricas na origem. Para resolver, vamos usar as equivalências básicas \tan u\sim u e \sin v\sim v quando u,v\to0.

Passo 2

Primeiro notamos que, para x\to0, tanto \tan(5x) quanto \sin(2x) tendem a zero, gerando a forma indeterminada 0/0. Por isso escrevemos o quociente de modo a explorar as equivalências:
\frac{\tan(5x)}{\sin(2x)} =\frac{\tan(5x)}{5x}\,\cdot\frac{5x}{2x}\,\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}.

Passo 3

Agora analisamos cada fator separadamente quando x\to0:
  • \displaystyle\frac{\tan(5x)}{5x}\to1, pois \tan u\sim u.
  • \displaystyle\frac{2x}{\sin(2x)}\to1, pois \sin v\sim v.
  • \displaystyle\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}, constante.

Passo 4

Multiplicando os limites dos fatores, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{\sin(2x)} =1\cdot\frac{5}{2}\cdot1 =\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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