Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+1}{1+x-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+1}{1+x - x^{3}}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos dividir numerador e denominador pelo maior grau de x e analisar o comportamento dos termos enquanto x\to -\infty.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}, obtendo
\frac{x^{2}+1}{1+x - x^{3}} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - 1}.

Passo 3

Agora analisamos cada termo quando x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\quad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
Logo, o numerador tende a 0 e o denominador tende a -1.

Passo 4

Como a forma é \tfrac{0}{-1}, o limite da função é 0.

Resposta

0

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