Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x^{2}-2 x+1}{3 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função racional
\frac{6x^{2} - 2x + 1}{3x^{2} + 1}
quando x \to +\infty. O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito, e vamos usar o fato de que, para x muito grande, os termos de maior grau dominam o comportamento da fração.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}, que é o maior grau comum, para expor o comportamento das parcelas menores:
\frac{6x^{2} - 2x + 1}{3x^{2} + 1} = \frac{x^{2}\bigl(6 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(3 + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)} = \frac{6 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}{3 + \tfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de cada termo conforme x \to +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \tfrac{2}{x} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty} \tfrac{1}{x^{2}} = 0.
Logo o numerador tende a 6 e o denominador tende a 3.

Passo 4

Com isso,
\lim_{x\to+\infty}\frac{6 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}{3 + \tfrac{1}{x^{2}}} = \frac{6}{3} = 2.

Resposta

2

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