Questão 1. Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-x+1}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-x+1}{1 - x^{2}}.
Isso é conteúdo de análise de limites no infinito de funções racionais. Para resolver, vamos comparar os graus dos polinômios e dividir numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^{2}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^{2}, obtemos
\frac{x^{2}-x+1}{1 - x^{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}} = \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} - 1}.

Passo 3

À medida que x\to -\infty, temos \frac{1}{x}\to 0 e \frac{1}{x^{2}}\to 0. Assim,
1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\to 1, \quad \frac{1}{x^{2}} - 1\to -1,
logo o limite vale
\frac{1}{-1} = -1.

Resposta

-1

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