Resolva os problemas de valor inicial:
(y^2+3 x y) d x=(4 x^2+x y) d y, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y^2+3xyr),dx ;=;l(4x^2+xyr),dy,
com condição inicial y(1)=1.
Este é um caso de equação homogênea (todos os termos são de grau 2 em x,y), e vamos usar a substituição
y = u x, dy = u,dx + x,du

Passo 2

Substituindo y=ux e dy = u,dx + x,du na equação original obtemos
l(u^2x^2+3u x^2r),dx = l(4x^2+u x^2r)l(u,dx + x,dur)
Fatorando x^2 de ambos os lados:
x^2(u^2+3u),dx = x^2(4+u),u,dx + x^3(4+u),du

Passo 3

Dividindo por x^2 e reorganizando termos em dx e du, temos
(u^2+3u),dx = u(4+u),dx + x,(4+u),du ;;Longrightarrow;; -;u,dx = x,(4+u),du
Isso é separável em x e u.

Passo 4

Separamos e integramos:
-integral ux,dx = integral (4+u),du ;Longrightarrow; -integral dxx = integral 4+uu,du
Calculando cada lado:
-lnlvert xrvert = integrall(1 + tfrac4ur),du = u + 4lnlvert urvert + C
Logo
lnlvert xrvert + u + 4lnlvert urvert = C

Passo 5

Voltando a u = tfracyx, obtemos a solução implícita
lngllvert xgrrvert + yx + 4ln!gllvert yxgrrvert = C ;Longrightarrow; ln!gl(y^4x^3gr) + yx = C

Passo 6

Aplicando y(1)=1:
ln!gl(1^41^3gr) + 11 = 0 + 1 = 1,
portanto C=1.

Resposta

boxedln!gl(y^4x^3gr) + yx = 1

Exercícios relacionados