__ Questão 1. (2,0) Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Para aquelas que convergirem, encontre o limite.
an=cos (n pi2).

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = cos!l(tfracnpi2r)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar a definição de convergência de sequência real (existência de um único L tal que, para todo varepsilon>0, lvert an - Lrvert<varepsilon para n suficientemente grande) e o fato de que a função cosseno é periódica.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos iniciais para identificar um padrão:
a1 &= cos!l(tfracpi2r) = 0, a2 &= cos(pi) = -1, a3 &= cos!l(tfrac3pi2r) = 0, a4 &= cos(2pi) = 1, a5 &= cos!l(tfrac5pi2r) = 0, a6 &= cos(3pi) = -1, a7 &= cos!l(tfrac7pi2r) = 0, a8 &= cos(4pi) = 1, &;,vdots

Passo 3

Observe que os valores se repetem de quatro em quatro termos. De fato, para todo inteiro k>=0:
a4k = 1, a4k+1 = 0, a4k+2 = -1, a4k+3 = 0

Passo 4

Como a sequência toma repetidamente os valores 1, 0 e -1, não existe um único L ao qual todos os an se aproximem. Logo, não satisfaz a definição de convergência.

Resposta

A sequência diverge.

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