Seja F(t)=f(t^2, 3 t+1), onde f=f(u, v) é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em R^2.
Expresse partial zpartial t em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta F(t) = f(t^2, 3t + 1) , onde f é uma função de duas variáveis, u e v . O objetivo é encontrar a derivada de F em relação a t , ou seja, partial zpartial t , expressando-a em termos das derivadas parciais de f . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas. Aqui, temos:
  • u = t^2
  • v = 3t + 1
Essas são as funções que estão dentro da função f .

Passo 3

Agora, queremos derivar F(t) = f(u, v) em relação a t . Segundo a regra da cadeia para funções de várias variáveis, a derivada será a soma das derivadas parciais de f em relação a cada uma das suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a t .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções internas:
  • dudt = ddt(t^2) = 2t
  • dvdt = ddt(3t + 1) = 3

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial t = partial fpartial u cdot dudt + partial fpartial v cdot dvdt
Substituindo as derivadas que encontramos:
partial zpartial t = partial fpartial u cdot 2t + partial fpartial v cdot 3

Resposta

partial zpartial t = 2t cdot partial fpartial u + 3 cdot partial fpartial v

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