Questão 1. Determine se a série é convergente ou divergente:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. As informações relevantes que temos:
- O termo geral da série é
. - O somatório é sobre
de até .
O objetivo é decidir convergência (condicional, absoluta ou divergente).
Passo 2
Vamos testar a convergência absoluta usando o teste da razão (ratio test). Primeiro, o que é convergência absoluta? Uma série
converge absolutamente se a série das magnitudes
converge. Resultado prático: se a série das magnitudes converge, então a série original converge também (isso se chama implicação “convergência absoluta ⇒ convergência”).
Agora, o teste da razão afirma o seguinte. Para
(não necessariamente positivos), defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar esse teste a.
Passo 3
Primeiro escrevo a magnitude do termo geral:
Agora calculo a razão
:
Uso a propriedade de fatorial
. Assim
portanto
Passo 4
Agora calcule o limite:
porque o denominador cresce sem limite e o numerador é constante. Como
, pelo teste da razão a série
converge. Logo a série original converge absolutamente, e portanto converge.
Comentário intuitivo (pra ficar mais leve): o fatorial
cresce muito mais rápido que a potência
, então os termos da série vão a zero muito rápido e a soma converge.
Passo 5
Conclusão final já alcançada pelo teste da razão: a série converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Resposta
Converge absolutamente (logo converge).