Questão 1. Determine se a série é convergente ou divergente:
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2 n+1)!}
é convergente ou divergente. As informações relevantes que temos:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(-3)^n}{(2n+1)!}.
  • O somatório é sobre n de 1 até \infty.
    O objetivo é decidir convergência (condicional, absoluta ou divergente).

Passo 2

Vamos testar a convergência absoluta usando o teste da razão (ratio test). Primeiro, o que é convergência absoluta? Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Resultado prático: se a série das magnitudes converge, então a série original converge também (isso se chama implicação “convergência absoluta ⇒ convergência”).
Agora, o teste da razão afirma o seguinte. Para a_n (não necessariamente positivos), defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Vamos aplicar esse teste a |a_n|.

Passo 3

Primeiro escrevo a magnitude do termo geral:
|a_n|=\frac{3^n}{(2n+1)!}.
Agora calculo a razão |a_{n+1}|/|a_n|:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{3^{\,n+1}/(2(n+1)+1)!}{3^n/(2n+1)!} =3\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}.
Uso a propriedade de fatorial (m+1)!=(m+1)m!. Assim
(2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!,
portanto
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \frac{3}{(2n+3)(2n+2)}.

Passo 4

Agora calcule o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{(2n+3)(2n+2)}=0,
porque o denominador cresce sem limite e o numerador é constante. Como 0<1, pelo teste da razão a série \sum |a_n| converge. Logo a série original converge absolutamente, e portanto converge.
Comentário intuitivo (pra ficar mais leve): o fatorial (2n+1)! cresce muito mais rápido que a potência 3^n, então os termos da série vão a zero muito rápido e a soma converge.

Passo 5

Conclusão final já alcançada pelo teste da razão: a série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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