Estude a convergêencia das séries:
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3}.
  • O somatório começa em n=0, e todos os termos são positivos para n\ge0 (numerador e denominador positivos).
  • Para decidir convergência precisamos analisar o comportamento dos termos a_n quando n\to\infty e aplicar um teste adequado.

Passo 2

Ferramentas e ideias que vou usar (explicadas com calma):
  • Definição útil: uma série de termos positivos \sum a_n converge somente se a_n\to0 quando n\to\infty. Mas isso não é suficiente; é só condição necessária.
  • Série harmônica: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Esse é um exemplo básico que usamos frequentemente para comparar.
  • Teste da comparação por limite (limit comparison test): dadas duas sequências de termos positivos (a_n) e (b_n), se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<+\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Explicação rápida do porquê: se a razão tende a um número positivo, para n grande os termos são comparáveis por constantes multiplicativas, então as somas se comportam da mesma forma.
  • Estratégia: comparar a_n com b_n=\dfrac{1}{n} (a harmônica), porque pela aparência a_n parece proporcional a 1/n quando n cresce.

Passo 3

Calcular a razão usada no teste da comparação por limite com b_n=\dfrac{1}{n}. Primeiro escrevo a_n e b_n:
a_n=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Agora a razão:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3}}{\dfrac{1}{n}} = n\cdot\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{\,n^{2}-n+3\,}.
Faço uma manipulação para ver o limite de forma clara. Multiplico e divido por n^{2}:
n\cdot\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3} = \frac{n^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\!\left(1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}\right)} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Para n\to\infty tem-se \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{1+0}}{1-0+0} = \frac{1}{1}=1.
Portanto o limite L existe e vale 1, que pertence ao intervalo (0,+\infty).

Passo 4

Conclusão pelo teste da comparação por limite:
  • Como L=1\in(0,+\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
  • Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (série harmônica) diverge, então \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{2}-n+3} também diverge.
    Observação prática: o primeiro termo n=0 é apenas um termo isolado finito; a divergência é determinada pelo comportamento para n grande, então a inclusão de um número finito de termos iniciais não altera a conclusão.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados