Estude a convergêencia das séries:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - O somatório começa em
, e todos os termos são positivos para (numerador e denominador positivos). - Para decidir convergência precisamos analisar o comportamento dos termos
quando e aplicar um teste adequado.
Passo 2
Ferramentas e ideias que vou usar (explicadas com calma):
- Definição útil: uma série de termos positivos
converge somente se quando . Mas isso não é suficiente; é só condição necessária. - Série harmônica:
diverge. Esse é um exemplo básico que usamos frequentemente para comparar. - Teste da comparação por limite (limit comparison test): dadas duas sequências de termos positivos
e , se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Explicação rápida do porquê: se a razão tende a um número positivo, para grande os termos são comparáveis por constantes multiplicativas, então as somas se comportam da mesma forma.
Explicação rápida do porquê: se a razão tende a um número positivo, para
- Estratégia: comparar
com (a harmônica), porque pela aparência parece proporcional a quando cresce.
Passo 3
Calcular a razão usada no teste da comparação por limite com
. Primeiro escrevo
e
:
Agora a razão:
Faço uma manipulação para ver o limite de forma clara. Multiplico e divido por
:
Agora tomo o limite quando
. Para
tem-se
e
, logo
Portanto o limite
existe e vale
, que pertence ao intervalo
.
Passo 4
Conclusão pelo teste da comparação por limite:
- Como
, as séries e têm o mesmo comportamento. - Sabendo que
(série harmônica) diverge, então também diverge.
Observação prática: o primeiro termoé apenas um termo isolado finito; a divergência é determinada pelo comportamento para grande, então a inclusão de um número finito de termos iniciais não altera a conclusão.
Resposta
A série diverge.