Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.
\left{P_{1}=(-1,0) ; P_{2}=(0,2) ; P_{3}=(1,3) ; P_{4}=(2,6) ; P_{5}=(3,5)\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.\n
  • Pede: escrever a equação da reta que melhor aproxima (no sentido dos mínimos quadrados) o conjunto de pontos dados.\n
  • Pontos fornecidos:
P_{1}=(-1,0),\quad P_{2}=(0,2),\quad P_{3}=(1,3),\quad P_{4}=(2,6),\quad P_{5}=(3,5).
  • Notação que vamos usar: para i=1,\dots,5 escrevemos x_i e y_i para as coordenadas dos pontos; n é o número de pontos (aqui n=5).\n
  • Objetivo matemático: encontrar coeficientes a e b de uma reta do tipo y=ax+b que minimiza a soma dos quadrados dos erros \sum_{i=1}^{n}(y_i-(a x_i+b))^2.

Passo 2

Conceito e fórmula dos mínimos quadrados (aula rápida e derivação das equações normais).\n
  • Ideia: escolher a e b que minimizam a função objetivo
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)^2.
  • Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a a e b e igualamos a zero (condições de mínimo). Calculando as derivadas:
\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^{n} x_i\bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)=0.
  • Essas duas igualdades geram o sistema linear (equações normais):
\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = a\sum_{i=1}^{n} x_i^2 + b\sum_{i=1}^{n} x_i,
\sum_{i=1}^{n} y_i = a\sum_{i=1}^{n} x_i + n b.
  • A partir daí, resolvendo esse sistema para a e b obtemos as fórmulas diretas (úteis na prova):
a=\frac{n\sum x_i y_i - \bigl(\sum x_i\bigr)\bigl(\sum y_i\bigr)}{n\sum x_i^2 - \bigl(\sum x_i\bigr)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Explicação das variáveis: em cada soma, o somatório vai de i=1 até i=n; por exemplo \sum x_i=\sum_{i=1}^{n} x_i.

Passo 3

Calcular as somas necessárias usando os pontos dados (faça passo a passo, sem pular contas).\n
Vamos computar \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2 e \sum x_i y_i tomando os pontos um a um:
\begin{aligned} \sum x_i &= (-1)+0+1+2+3 = 5,\\[4pt] \sum y_i &= 0+2+3+6+5 = 16,\\[4pt] \sum x_i^2 &= (-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2 = 1+0+1+4+9 = 15,\\[4pt] \sum x_i y_i &= (-1)\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 3 + 2\cdot 6 + 3\cdot 5 = 0+0+3+12+15 = 30. \end{aligned}
Também lembrando n=5.]

Passo 4

Substituir nas fórmulas e calcular a (inclinação) com contas detalhadas.\n
Usando a fórmula para a:
a=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}.
Substituindo os valores que calculamos:
a=\frac{5\cdot 30 - 5\cdot 16}{5\cdot 15 - 5^2} =\frac{150 - 80}{75 - 25} =\frac{70}{50}=\frac{7}{5}.
Ou seja, a inclinação é \displaystyle a=\frac{7}{5} (que em decimal é 1{,}4).

Passo 5

Calcular b (ordenada na origem) detalhadamente.\n
Usamos
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Substituindo \sum y_i=16, \sum x_i=5, a=\tfrac{7}{5} e n=5:
b=\frac{16 - \tfrac{7}{5}\cdot 5}{5}=\frac{16 - 7}{5}=\frac{9}{5}.
Logo \displaystyle b=\frac{9}{5} (em decimal 1{,}8).\n
Observação didática para prova: calcule sempre as somas primeiro (Σx, Σy, Σx^2, Σxy) e depois substitua nas fórmulas; isso evita erros e é rápido de fazer à mão.

Resposta

y=\dfrac{7}{5}x+\dfrac{9}{5}

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