Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.
\left{P_{1}=(-1,0) ; P_{2}=(0,2) ; P_{3}=(1,3) ; P_{4}=(2,6) ; P_{5}=(3,5)\right.
\left{P_{1}=(-1,0) ; P_{2}=(0,2) ; P_{3}=(1,3) ; P_{4}=(2,6) ; P_{5}=(3,5)\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.\n
- Pede: escrever a equação da reta que melhor aproxima (no sentido dos mínimos quadrados) o conjunto de pontos dados.\n
- Pontos fornecidos:
- Notação que vamos usar: para
escrevemos e para as coordenadas dos pontos; é o número de pontos (aqui ).\n - Objetivo matemático: encontrar coeficientes
e de uma reta do tipo que minimiza a soma dos quadrados dos erros .
Passo 2
Conceito e fórmula dos mínimos quadrados (aula rápida e derivação das equações normais).\n
- Ideia: escolher
e que minimizam a função objetivo
- Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a
e e igualamos a zero (condições de mínimo). Calculando as derivadas:
- Essas duas igualdades geram o sistema linear (equações normais):
- A partir daí, resolvendo esse sistema para
e obtemos as fórmulas diretas (úteis na prova):
Explicação das variáveis: em cada soma, o somatório vai de
até
; por exemplo
.
Passo 3
Calcular as somas necessárias usando os pontos dados (faça passo a passo, sem pular contas).\n
Vamos computar ,
,
e
tomando os pontos um a um:
Vamos computar
Também lembrando
.]
Passo 4
Substituir nas fórmulas e calcular
(inclinação) com contas detalhadas.\n
Usando a fórmula para :
Usando a fórmula para
Substituindo os valores que calculamos:
Ou seja, a inclinação é
(que em decimal é
).
Passo 5
Calcular
(ordenada na origem) detalhadamente.\n
Usamos
Usamos
Substituindo
,
,
e
:
Logo
(em decimal
).\n
Observação didática para prova: calcule sempre as somas primeiro (Σx, Σy, Σx^2, Σxy) e depois substitua nas fórmulas; isso evita erros e é rápido de fazer à mão.
Observação didática para prova: calcule sempre as somas primeiro (Σx, Σy, Σx^2, Σxy) e depois substitua nas fórmulas; isso evita erros e é rápido de fazer à mão.