Questão 5. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
Isso nos mostra que cada termo da série é a diferença de dois logaritmos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dos termos quando
cresce. Para valores grandes de
,
se aproxima de
e
se aproxima de
. Então, podemos simplificar a expressão:
Substituindo na diferença, temos:
Passo 4
O próximo passo é verificar o limite do termo geral quando
tende ao infinito. Se o limite não for zero, a série diverge.
Passo 5
Como o limite do termo geral não é zero, pela Teste da Divergência, a série
diverge.
Resposta
A série é divergente.