Questão 5. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
ln (n^2+12 n^2+1) = ln(n^2+1) - ln(2n^2+1)
Isso nos mostra que cada termo da série é a diferença de dois logaritmos.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos quando n cresce. Para valores grandes de n, n^2+1 se aproxima de n^2 e 2n^2+1 se aproxima de 2n^2. Então, podemos simplificar a expressão:
ln(n^2+1) approx ln(n^2) = 2ln(n)
ln(2n^2+1) approx ln(2n^2) = ln(2) + 2ln(n)
Substituindo na diferença, temos:
ln (n^2+12 n^2+1) approx 2ln(n) - (ln(2) + 2ln(n)) = -ln(2)

Passo 4

O próximo passo é verificar o limite do termo geral quando n tende ao infinito. Se o limite não for zero, a série diverge.
limn to infty ln (n^2+12 n^2+1) = -ln(2) neq 0

Passo 5

Como o limite do termo geral não é zero, pela Teste da Divergência, a série sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1) diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados