Questão 3: Determine se as Séries abaixo convergem ou divergem. Em cada item indicar o teste que foi usado
sumn=2^infty raizn^4+1n^3+n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty raizn^4+1n^3+n^2
O conteúdo aqui é séries de termo geral e vamos usar o Teste da Comparação por Limite, comparando com a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Denotemos
an = raizn^4+1n^3+n^2 e bn = 1n
Para n grande temos raizn^4+1sim n^2 e n^3+n^2=n^2(n+1)sim n^3, logo ansim n^2/n^3=1/n. Mais rigorosamente, calculemos
limntoinftyanbn =limntoinftyraizn^4+1n^3+n^21n =limntoinftynraizn^4+1n^3+n^2 =limntoinftyraizn^4+1n^2+n =1
Como esse limite é um número finito e não zero, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Sabendo que sum1/n diverge (série harmônica), concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação por Limite com a série harmônica.

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