Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x 0 e^x-1-xcos 2 x-1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
limxto 0 e^x-1 - xcos(2x)-1
Usaremos a regra de L’H^opital, que permite trocar o limite de uma forma indeterminada 0/0 pelo limite do quociente das derivadas.

Passo 2

Verificamos que numerador e denominador são ambos zero em x=0:
e^0 - 1 - 0 = 0, cos(0) - 1 = 0
Logo, é caso de 0/0 e podemos aplicar L’H^opital.

Passo 3

Derivando uma vez numerador e denominador:
f(x)=e^x-1-x;Longrightarrow;f'(x)=e^x-1,
g(x)=cos(2x)-1;Longrightarrow;g'(x)=-2sin(2x)
O limite vira
limxto 0e^x-1-2sin(2x),
que é outra forma 0/0 (pois e^0-1=0 e sin0=0).

Passo 4

Aplicamos L’H^opital mais uma vez, calculando segundas derivadas:
f''(x)=ddx(e^x-1)=e^x,
g''(x)=ddx(-2sin(2x))=-4cos(2x)
O limite passa a ser
limxto 0e^x-4cos(2x).

Passo 5

Basta substituir x=0:
e^0-4cos(0)=1-4cdot1=-14

Resposta

-tfrac14

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