Questão 5:
Utilizando a expansão de Laplace, mostre que o determinante de uma matriz
cujos elementos
para
é dada por
.
Utilizando a expansão de Laplace, mostre que o determinante de uma matriz
Passo 1
A questão pede para mostrar que, para uma matriz 4×4 em que todos os elementos acima da diagonal são zero (ou seja,
para
), o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Vamos usar o método de expansão de Laplace (cofator) para chegar a isso.
Passo 2
A ideia da expansão de Laplace na primeira linha é escrever
onde
é o menor obtido retirando a primeira linha e a coluna
. Mas, como
sempre que
, só existe contribuição para
. Logo:
Passo 3
O submatriz
é uma matriz 3×3 que mantém a propriedade triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Repetindo a mesma ideia de Laplace na primeira linha de
, só sobra o termo
. Assim:
onde
é o menor 2×2 formado após remover a segunda linha e coluna originais.
Passo 4
O menor
é uma matriz 2×2 triangular inferior com elementos diagonais
e
. Para uma matriz 2×2 triangular inferior a gente já sabe que
Juntando tudo: