Questão 5:
Utilizando a expansão de Laplace, mostre que o determinante de uma matriz A4 times 4 cujos elementos ai j=0 para j>i é dada por prodk=1^4 ak k.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, para uma matriz 4×4 em que todos os elementos acima da diagonal são zero (ou seja, aij=0 para j>i), o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Vamos usar o método de expansão de Laplace (cofator) para chegar a isso.

Passo 2

A ideia da expansão de Laplace na primeira linha é escrever
det(A)=sumj=1^4(-1)^1+j,a1j,detl(M1jr),
onde M1j é o menor obtido retirando a primeira linha e a coluna j. Mas, como a1j=0 sempre que j>1, só existe contribuição para j=1. Logo:
det(A)=(-1)^1+1a11detl(M11r)=a11detl(M11r)

Passo 3

O submatriz M11 é uma matriz 3×3 que mantém a propriedade triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Repetindo a mesma ideia de Laplace na primeira linha de M11, só sobra o termo a22. Assim:
detl(M11r)=a22detl(M22r),
onde M22 é o menor 2×2 formado após remover a segunda linha e coluna originais.

Passo 4

O menor M22 é uma matriz 2×2 triangular inferior com elementos diagonais a33 e a44. Para uma matriz 2×2 triangular inferior a gente já sabe que
detl(M22r)=a33,a44
Juntando tudo:
det(A)=a11,l(a22,l(a33,a44r)r)=a11,a22,a33,a44=prodk=1^4akk

Resposta

det(A)=prodk=1^4akk

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