Questão 3. Determine as transformadas inversas de Laplace de
(1.0)
(1.0)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace de
Informações dadas:
- A função no espaço de
é . - Precisa-se encontrar
, ou seja, a função no tempo cujo Laplace é .
Passo 2
Entendimento da peça fundamental que aparece: o fator [e^{-s}).
Fato importante (teorema do deslocamento no tempo): se
então, para
,
onde
é a função degrau unitário deslocada (Heaviside), definida por
Isto significa que um fator
corresponde a um atraso no tempo: a transformada inversa de
é
, onde
.
No nosso problema temos
porque aparece
. Logo podemos escrever
Assim a estratégia é: encontrar
e depois aplicar o deslocamento no tempo
multiplicado por
.]
Passo 3
Calcular a transformada inversa de
Usamos decomposição em frações parciais. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes em ambos os lados:
- Coeficiente de
: . - Termo independente:
.
Da segunda equação
vem
. Então
.
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas termo a termo.
Sabendo que
e
temos
definida para
.
(Dica rápida:
quando
.)
Passo 5
Aplicar o teorema do deslocamento no tempo com
.
Pelo teorema, como
, a transformada inversa é
Substituindo
que encontramos:
Passo 6
Escrever a resposta de forma compacta e interpretar:
Interpretação: para
vale
. Para
,
Isso é exatamente o efeito do fator
: o sinal é zero até
e, a partir de
, a forma no tempo é a função
deslocada.