Questão 3. Determine as transformadas inversas de Laplace de
(1.0) F(s)=\frac{e^{-s}}{s(s-2)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{e^{-s}}{s(s-2)}.
Informações dadas:
  • A função no espaço de s é \dfrac{e^{-s}}{s(s-2)}.
  • Precisa-se encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, a função no tempo cujo Laplace é F(s).

Passo 2

Entendimento da peça fundamental que aparece: o fator [e^{-s}).
Fato importante (teorema do deslocamento no tempo): se
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então, para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (Heaviside), definida por
u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\[4pt]1,&t\ge a.\end{cases}
Isto significa que um fator e^{-a s}\] em \(F(s) corresponde a um atraso no tempo: a transformada inversa de e^{-a s}G(s) é u(t-a)\,g(t-a), onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
No nosso problema temos a=1 porque aparece e^{-s}=e^{-1\cdot s}. Logo podemos escrever
F(s)=e^{-1\cdot s}\,G(s)\quad\text{com}\quad G(s)=\frac{1}{s(s-2)}.
Assim a estratégia é: encontrar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e depois aplicar o deslocamento no tempo t\mapsto t-1 multiplicado por u(t-1).]

Passo 3

Calcular a transformada inversa de
G(s)=\frac{1}{s(s-2)}.
Usamos decomposição em frações parciais. Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s-2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando por s(s-2) obtemos
1 = A(s-2)+Bs = (A+B)s - 2A.
Comparando coeficientes em ambos os lados:
  • Coeficiente de s: A+B=0.
  • Termo independente: -2A=1.
Da segunda equação -2A=1 vem A=-\dfrac{1}{2}. Então B=-A=\dfrac{1}{2}.
Portanto
\frac{1}{s(s-2)} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-2}.

Passo 4

Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas termo a termo.
Sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1\quad(\text{para }t\ge0)
e
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-2}\right\}=e^{2t}\quad(\text{para }t\ge0),
temos
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} = -\frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot e^{2t} = \frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr),
definida para t\ge0.
(Dica rápida: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} quando \operatorname{Re}(s)>a.)

Passo 5

Aplicar o teorema do deslocamento no tempo com a=1.
Pelo teorema, como F(s)=e^{-1\cdot s}G(s), a transformada inversa é
f(t)=u(t-1)\,g(t-1).
Substituindo g que encontramos:
f(t)=u(t-1)\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr).

Passo 6

Escrever a resposta de forma compacta e interpretar:
f(t)=\frac{1}{2}\,u(t-1)\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr).
Interpretação: para t<1 vale f(t)=0. Para t\ge1,
f(t)=\frac{1}{2}\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr).
Isso é exatamente o efeito do fator e^{-s}: o sinal é zero até t=1 e, a partir de t=1, a forma no tempo é a função g deslocada.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\,u(t-1)\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr)

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