Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
y^prime prime+3 y^prime-10 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' - 10y = 0
O conteúdo é EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica, que consiste em assumir y=e^rx e obter um polinômio em r.

Passo 2

Assumindo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo na EDO original e dividindo por e^rxneq0, obtemos a equação característica em r:
r^2 + 3r - 10 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = 3^2 - 4cdot1cdot(-10) = 9 + 40 = 49
As raízes são
r = -3 pm raiz492 = -3 pm 72,
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r1 = 2, r2 = -5

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é dada por
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-5x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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