Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
.
Passo 1
A gente tem que achar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações lineares com coeficientes constantes, identificando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à EDO. Se a equação for da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar o termo
:
Assim, as soluções são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias que determinam a solução específica.
Resposta
A solução geral da equação é: