Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
2 y^prime prime-3 y^prime=0.

Passo 1

A gente tem que achar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes: 2 y'' - 3 y' = 0. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações lineares com coeficientes constantes, identificando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à EDO. Se a equação for da forma a y'' + b y' + c y = 0, a equação característica é a r^2 + b r + c = 0. No nosso caso, a = 2, b = -3 e c = 0. Então, a equação fica:
2 r^2 - 3 r = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica 2 r^2 - 3 r = 0. Podemos fatorar o termo r:
r (2 r - 3) = 0
Assim, as soluções são:
r = 0 e r = 32

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( r = 0 e r = 32), a solução geral da EDO é dada por:
y(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^32 t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que determinam a solução específica.

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = C1 + C2 e^32 t

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