Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
\left(3 y^{2}-x^{2}+1\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3y^{2}-x^{2}+1\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0
pelo método do fator integrante. Isso envolve identificar se a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata e, se não for, encontrar um fator integrante \mu que torne a equação exata.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3y^{2}-x^{2}+1 \quad\text{e}\quad N(x,y) = 2xy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 6y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Usamos a fórmula
\frac{1}{\mu(x)}\frac{d\mu}{dx} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{6y - 2y}{2xy} = \frac{4y}{2xy} = \frac{2}{x}.
Integramos em x:
\ln\mu(x) = \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| \quad\Longrightarrow\quad \mu(x) = x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por x^{2}, obtendo
\bigl[x^{2}(3y^{2}-x^{2}+1)\bigr]\,dx + \bigl[2x^{3}y\bigr]\,dy = 0.
Chamando
\widetilde M(x,y)=3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}, \quad \widetilde N(x,y)=2x^{3}y,
vemos que
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 6x^{2}y, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 6x^{2}y,
portanto a nova equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \widetilde M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = \widetilde N.
Integramos \widetilde M em x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx = x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} + h(y).
Para encontrar h(y), derivamos em y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x^{3}y + h'(y) \stackrel{!}{=} 2x^{3}y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0
logo h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita geral fica
\Psi(x,y) = x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3}y^{2} - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} = C.

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