Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
pelo método do fator integrante. Isso envolve identificar se a forma
é exata e, se não for, encontrar um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a fórmula
Integramos em
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Chamando
vemos que
portanto a nova equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em
:
Para encontrar
, derivamos em
e igualamos a
:
logo
é constante.
Passo 6
A solução implícita geral fica
onde
é constante arbitrária.