Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
\left(x y^{2}+2\right) d x+3 x^{2} y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(xy^{2}+2\bigr)\,dx + 3x^{2}y\,dy = 0
e pede solução pelo método do fator integrante. Vamos ver se ela é exata; caso negativo, buscamos um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=xy^{2}+2,\quad N(x,y)=3x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2xy,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=6xy.
Como 2xy\neq6xy, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x). Para isso, verificamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{2xy-6xy}{3x^{2}y} =-\frac{4}{3x},
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{3x}\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\ln x\bigr) =x^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4/3}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy=0
com
M^*(x,y)=x^{-4/3}(xy^2+2)=x^{-1/3}y^2+2x^{-4/3},
N^*(x,y)=x^{-4/3}\,3x^2y=3x^{2/3}y.
Agora a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M^*(x,y).
Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(x^{-1/3}y^2+2x^{-4/3}\bigr)\,dx =y^2\int x^{-1/3}dx +2\int x^{-4/3}dx =\frac{3}{2}x^{2/3}y^2 -6x^{-1/3}+h(y).

Passo 6

Impondo
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =3x^{2/3}y + h'(y) \stackrel{!}{=}N^*(x,y)=3x^{2/3}y
vem h'(y)=0, logo h(y) é constante. Assim a solução implícita é
\varphi(x,y)=\frac{3}{2}x^{2/3}y^2-6x^{-1/3}=C.

Resposta

\frac{3}{2}x^{2/3}y^2 \;-\;6x^{-1/3}=C,
ou, simplificando,
x^{2/3}y^2 \;-\;4x^{-1/3}=C'.

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