QUESTÃO 1 - Determine a solução do sistema triangular superior usando substituições retroativas.
\left[\begin{array}{rrrr} 7 & 0 & -3 & 5 \\\\ 0 & -1 & 6 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -9 \\\\ 12 \\\\ -3 \\\\ 6 \end{array}\right]
RESPOSTA \quad a x=[-2.3929,-3.5,0.75,2]^{\top}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com matriz triangular superior e pede para determinar a solução usando substituições retroativas. Dados fornecidos (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
\begin{bmatrix} 7 & 0 & -3 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9\\[4pt] 12\\[4pt] -3\\[4pt] 6 \end{bmatrix}
As equações correspondentes, extraídas da multiplicação da matriz pelos incógnitas, são (estou só listando; ainda não resolvi aqui):
\begin{aligned} 7x_{1} + 0\cdot x_{2} -3x_{3} +5x_{4} &= -9,\\[4pt] 0\cdot x_{1} - x_{2} +6x_{3} +2x_{4} &= 12,\\[4pt] 0\cdot x_{1} +0\cdot x_{2} +4x_{3} -3x_{4} &= -3,\\[4pt] 0\cdot x_{1} +0\cdot x_{2} +0\cdot x_{3} +3x_{4} &= 6. \end{aligned}]

Passo 2

Explico a ideia do método (aula rapidinha e prática). Em um sistema com matriz triangular superior U (ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) e vetor lado direito b,
U x = b,
podemos resolver começando pela última equação e indo para cima — isso é a substituição retroativa. A fórmula geral para a componente x_i é
x_n=\frac{b_n}{U_{nn}}, \qquad x_i=\frac{1}{U_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j=i+1}^n U_{ij}x_j\Big)
onde:
  • n é o número de incógnitas (aqui n=4);
  • U_{ij} é o elemento da matriz na linha i, coluna j;
  • x_j são as incógnitas já conhecidas quando j>i;
  • b_i é a entrada i-ésima do vetor do lado direito.
Ou seja: resolvo x_4 direto pela última equação, uso esse valor na penúltima para achar x_3, e assim por diante até x_1. Agora aplico passo a passo.

Passo 3

Começo pela última equação (linha 4). Da equação
3x_{4}=6,
divide-se por 3 para isolar x_{4}. Logo
x_{4}=\frac{6}{3}=2.
Explicação curtinha: aqui U_{44}=3 e b_4=6, então x_4=b_4/U_{44}.

Passo 4

Agora uso x_{4} na terceira equação (linha 3):
4x_{3}-3x_{4}=-3.
Substituo x_{4}=2:
4x_{3}-3\cdot 2=-3.
Calculo o produto:
4x_{3}-6=-3.
Isolo 4x_{3}:
4x_{3}=-3+6=3.
Divido por 4:
x_{3}=\frac{3}{4}=0,75.
Dica: sempre faça contas numa ordem clara: primeiro o produto, depois some/subtraia, depois divida pelo coeficiente da variável.

Passo 5

Agora a segunda equação (linha 2):
- x_{2} +6x_{3} +2x_{4}=12.
Substituo x_{3}=\tfrac{3}{4} e x_{4}=2:
- x_{2} +6\cdot\frac{3}{4} +2\cdot 2 = 12.
Calculo 6\cdot\frac{3}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}=4{,}5 e 2\cdot 2=4. Então
- x_{2} +4{,}5 +4 = 12.
Somando 4{,}5+4=8{,}5:
- x_{2} +8{,}5 = 12.
Isolo -x_{2}:
- x_{2} = 12 - 8{,}5 = 3{,}5.
Multiplico por -1:
x_{2} = -3{,}5.
Também podemos escrever x_{2}=-\tfrac{7}{2} se preferir fração exata.

Passo 6

Agora a primeira equação (linha 1):
7x_{1} -3x_{3} +5x_{4} = -9.
Substituo x_{3}=\tfrac{3}{4} e x_{4}=2:
7x_{1} -3\cdot\frac{3}{4} +5\cdot 2 = -9.
Calculo os produtos: -3\cdot\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}=-2{,}25 e 5\cdot 2=10. Então
7x_{1} -2{,}25 +10 = -9.
Somando -2{,}25+10 = 7{,}75, temos
7x_{1} +7{,}75 = -9.
Isolo 7x_{1}:
7x_{1} = -9 -7{,}75 = -16{,}75.
Divido por 7:
x_{1} = \frac{-16{,}75}{7} = \frac{-67}{28}.
Como decimal essa fração vale aproximadamente
x_{1}\approx -2{,}392857142857\ldots
Arredondando a quatro casas decimais fica x_{1}\approx -2{,}3929 (o enunciado mostra esse arredondamento).

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos (cada componente foi calculada isoladamente pelas substituições retroativas):
  • x_{4}=2,
  • x_{3}=\tfrac{3}{4}=0{,}75,
  • x_{2}=-\tfrac{7}{2}=-3{,}5,
  • x_{1}=-\tfrac{67}{28}\approx -2{,}392857.
Pronto — terminamos a substituição retroativa e temos a solução do sistema.

Resposta

x=\begin{bmatrix} -2{,}3929\\[4pt] -3{,}5\\[4pt] 0{,}75\\[4pt] 2 \end{bmatrix}]

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