QUESTÃO 1 - Determine a solução do sistema triangular superior usando substituições retroativas.
RESPOSTA
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com matriz triangular superior e pede para determinar a solução usando substituições retroativas. Dados fornecidos (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
As equações correspondentes, extraídas da multiplicação da matriz pelos incógnitas, são (estou só listando; ainda não resolvi aqui):
Passo 2
Explico a ideia do método (aula rapidinha e prática). Em um sistema com matriz triangular superior
(ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) e vetor lado direito
,
podemos resolver começando pela última equação e indo para cima — isso é a substituição retroativa. A fórmula geral para a componente
é
onde:
-
é o número de incógnitas (aqui ); -
é o elemento da matriz na linha , coluna ; -
são as incógnitas já conhecidas quando ; -
é a entrada -ésima do vetor do lado direito.
Ou seja: resolvo
direto pela última equação, uso esse valor na penúltima para achar
, e assim por diante até
. Agora aplico passo a passo.
Passo 3
Começo pela última equação (linha 4). Da equação
divide-se por
para isolar
. Logo
Explicação curtinha: aqui
e
, então
.
Passo 4
Agora uso
na terceira equação (linha 3):
Substituo
:
Calculo o produto:
Isolo
:
Divido por
:
Dica: sempre faça contas numa ordem clara: primeiro o produto, depois some/subtraia, depois divida pelo coeficiente da variável.
Passo 5
Agora a segunda equação (linha 2):
Substituo
e
:
Calculo
e
. Então
Somando
:
Isolo
:
Multiplico por
:
Também podemos escrever
se preferir fração exata.
Passo 6
Agora a primeira equação (linha 1):
Substituo
e
:
Calculo os produtos:
e
. Então
Somando
, temos
Isolo
:
Divido por
:
Como decimal essa fração vale aproximadamente
Arredondando a quatro casas decimais fica
(o enunciado mostra esse arredondamento).
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos (cada componente foi calculada isoladamente pelas substituições retroativas):
-
, -
, -
, -
.
Pronto — terminamos a substituição retroativa e temos a solução do sistema.