O enunciado dá um sistema linear com matriz dos coeficientes e vetor de termos independentes e pede a solução (x,y,z). Dados relevantes, copiados do enunciado:
Explicação do que faremos (resumida e prática): aplicamos operações elementares por linhas para transformar essa matriz aumentada em uma forma triangular superior, usando pivotamento parcial (ou seja, em cada coluna escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas disponíveis e, se necessário, trocamos linhas). Depois que tivermos triângulo superior, resolvemos por substituição regressiva (back substitution). Agora vamos executar tudo passo a passo, com cálculos explícitos.]
Passo 3
Primeira coluna (coluna dos coeficientes de x): escolhemos o pivô entre as entradas das linhas 1 a 3 nesta coluna. Os valores absolutos são |5|=5, |1|=1 e |4|=4. O maior é 5 (linha 1), portanto não precisamos trocar linhas. O pivô é 5.
Para zerar as entradas abaixo do pivô usamos multiplicadores m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}} e m_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}. Esses multiplicadores dizem “quanto da linha do pivô eu subtraio da linha que quero zerar”.
Calculemos:
m_{21}=\frac{1}{5},\qquad m_{31}=\frac{4}{5}.
Aplicamos as operações R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Fazendo as contas entrada a entrada (faço tudo em frações para ser exato):
Agora tratamos a segunda coluna (a partir da segunda linha). Para pivotamento parcial comparamos os valores absolutos nas linhas 2 e 3 na segunda coluna: \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5} e \left|\dfrac{7}{5}\right|=\dfrac{7}{5}. O maior é \dfrac{7}{5} (linha 3), então fazemos a troca de linhas R_2 \leftrightarrow R_3 para colocar o maior pivô na posição de trabalho. Lembre-se: ao trocar linhas, trocamos também os termos independentes na última coluna.