QUESTÃO 2 - Use o método do escalonamento de Gauss para obter a solução ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) do sistema lineares abaixo.
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y+4 z & =1 \\\ x+y+2 z & =2 \\\\ 4 x+3 y-2 z & =3 \end{aligned}\right.
Solução: ( -3,5,0 )

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e obter os valores de x, y e z:
\left\{\begin{aligned} 3x+2y+4z &= 1\\[4pt] x+y+2z &= 2\\[4pt] 4x+3y-2z &= 3 \end{aligned}\right.
Informações dadas que usaremos explicitamente:
\begin{aligned} &\text{Equação (1): }3x+2y+4z=1,\\\ &\text{Equação (2): }x+y+2z=2,\\\ &\text{Equação (3): }4x+3y-2z=3. \end{aligned}çãçãçã
O método exigido é o escalonamento de Gauss (eliminação de Gauss). Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares por linhas até obter uma matriz triangular (forma escalonada), e então fazer substituição regressiva para achar x,y,z.]

Passo 2

Representação em matriz aumentada. Colocamos os coeficientes e o termo independente em uma única matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right].
Explicação curta sobre a matriz aumentada: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo à direita (=). Nosso objetivo é usar operações elementares nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs).]

Passo 3

Operações elementares permitidas (e por que elas não mudam a solução):
  1. Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
  2. Multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0.
  3. Substituir uma linha pela soma dela com múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
    Essas operações correspondem a combinar linearmente as equações do sistema e mantêm o conjunto de soluções.
Estratégia prática: é conveniente começar com uma linha cujo coeficiente de x seja 1 para evitar frações. Aqui a segunda linha já tem coeficiente 1 em x, então vou trocar a linha 1 com a linha 2 para colocar esse pivô de 1 na primeira linha.

Passo 4

Trocar R_1 com R_2:
R_1 \leftrightarrow R_2
Matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right].
Agora temos pivô 1 na posição (1,1).]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna usando a primeira linha:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
Calculemos cada entrada com calma:
Para R_2 - 3R_1:
\begin{aligned} &3 - 3\cdot1 = 0,\\\ &2 - 3\cdot1 = -1,\\\ &4 - 3\cdot2 = 4 - 6 = -2,\\\ &1 - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5. \end{aligned}
Para R_3 - 4R_1:
\begin{aligned} &4 - 4\cdot1 = 0,\\\ &3 - 4\cdot1 = -1,\\\ &-2 - 4\cdot2 = -2 - 8 = -10,\\\ &3 - 4\cdot2 = 3 - 8 = -5. \end{aligned}
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & -10 & -5 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora o próximo pivô (na segunda coluna) está nas linhas 2 e 3; ambas têm coeficiente -1 na coluna 2. Para zerar a entrada abaixo do pivô (posição (3,2)) fazemos:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calculemos:
\begin{aligned} &0 - 0 = 0,\\\ &-1 - (-1) = 0,\\\ &-10 - (-2) = -10 + 2 = -8,\\\ &-5 - (-5) = -5 + 5 = 0. \end{aligned}
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 0 \end{array}\right].
Agora temos forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs).]

Passo 7

Passamos à forma escalonada reduzida e à substituição regressiva. Primeiro, simplify as linhas pivô dividindo por constantes para obter pivôs 1:
  • Dividir R_3 por -8: R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-8}R_3.
    Isso dá
R_3 = \left[\,0\; 0\; 1\; 0\,\right].
Agora R_3 corresponde à equação z = 0.
Usamos R_3 para eliminar o coeficiente de z em R_2 e R_1:
  • Em R_2 temos coeficiente -2 de z. Faça R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
    Cálculo: a coluna de z fica -2 + 2\cdot1 = 0, o termo independente fica -5 + 2\cdot0 = -5. Assim R_2 torna-se
\left[\,0\; -1\; 0\; -5\,\right].
  • Em R_1 temos coeficiente 2 de z. Faça R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
    Cálculo: a coluna de z fica 2 - 2\cdot1 = 0, o termo independente fica 2 - 2\cdot0 = 2. Assim R_1 torna-se
\left[\,1\; 1\; 0\; 2\,\right].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Continuando a simplificação para obter os valores diretos:
  • Multiplique R_2 por -1 para obter pivô 1: R_2 \leftarrow -1\cdot R_2. Assim
R_2 = \left[\,0\; 1\; 0\; 5\,\right],
o que dá y = 5.
  • Agora elimine o coeficiente de y em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    Cálculo: primeira linha fica
\left[\,1\; 0\; 0\; 2-5\,\right] = \left[\,1\; 0\; 0\; -3\,\right],
o que dá x = -3.
Temos então, pela leitura final das linhas:
x = -3,\quad y = 5,\quad z = 0.

Resposta

(-3,5,0)

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