O método exigido é o escalonamento de Gauss (eliminação de Gauss). Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares por linhas até obter uma matriz triangular (forma escalonada), e então fazer substituição regressiva para achar x,y,z.]
Passo 2
Representação em matriz aumentada. Colocamos os coeficientes e o termo independente em uma única matriz:
Explicação curta sobre a matriz aumentada: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo à direita (=). Nosso objetivo é usar operações elementares nas linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs).]
Passo 3
Operações elementares permitidas (e por que elas não mudam a solução):
Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
Multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0.
Substituir uma linha pela soma dela com múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
Essas operações correspondem a combinar linearmente as equações do sistema e mantêm o conjunto de soluções.
Estratégia prática: é conveniente começar com uma linha cujo coeficiente de x seja 1 para evitar frações. Aqui a segunda linha já tem coeficiente 1 em x, então vou trocar a linha 1 com a linha 2 para colocar esse pivô de 1 na primeira linha.
Agora o próximo pivô (na segunda coluna) está nas linhas 2 e 3; ambas têm coeficiente -1 na coluna 2. Para zerar a entrada abaixo do pivô (posição (3,2)) fazemos:
Agora temos forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs).]
Passo 7
Passamos à forma escalonada reduzida e à substituição regressiva. Primeiro, simplify as linhas pivô dividindo por constantes para obter pivôs 1:
Dividir R_3 por -8: R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-8}R_3.
Isso dá
R_3 = \left[\,0\; 0\; 1\; 0\,\right].
Agora R_3 corresponde à equação z = 0.
Usamos R_3 para eliminar o coeficiente de z em R_2 e R_1:
Em R_2 temos coeficiente -2 de z. Faça R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
Cálculo: a coluna de z fica -2 + 2\cdot1 = 0, o termo independente fica -5 + 2\cdot0 = -5. Assim R_2 torna-se
\left[\,0\; -1\; 0\; -5\,\right].
Em R_1 temos coeficiente 2 de z. Faça R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
Cálculo: a coluna de z fica 2 - 2\cdot1 = 0, o termo independente fica 2 - 2\cdot0 = 2. Assim R_1 torna-se