Questão 4 - Determine o valor aproximado da integral I=\int_{0}^{2} f(x) d x usando a primeira regra de Simpson com passo de integração de \mathrm{h}=0.25.
f(x)= \begin{cases}x^{3}+3 & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ (x+1)^{2} & \text { se } 1<x \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \displaystyle I=\int_{0}^{2} f(x)\,dx\) usando a primeira regra de Simpson com passo de integração \(\displaystyle h=0,25\).\n A função é dada por partes: \[f(x)= \begin{cases} x^{3}+3 & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] (x+1)^{2} & \text{se } 1<x\le 2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: o intervalo de integração é [0,2]\], o passo é \(\displaystyle h=0,25 e há uma descontinuidade de definição (mudança de expressão) em \displaystyle x=1.]

Passo 2

Explicando a regra que vamos usar (a primeira regra de Simpson, também chamada de regra composta de Simpson 1/3):\n
Se dividimos [a,b] em n subintervalos de comprimento \displaystyle h=\frac{b-a}{n} com n par, a fórmula composta de Simpson é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k})\Big],
onde \displaystyle x_{i}=a+i h são os nós. \n
O que cada coisa significa:\n
  • \displaystyle h é o passo (comprimento de cada subintervalo).\n
  • \displaystyle n é o número de subintervalos (deve ser par).\n
  • \displaystyle x_{0},x_{1},\dots,x_{n} são os pontos onde avaliamos f.\n
  • O somatório com fator 4 pega as avaliações nos índices ímpares; o com fator 2 pega as avaliações nos índices pares internos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao nosso caso.\n
Calculamos primeiro \displaystyle n=\frac{b-a}{h}=\frac{2-0}{0,25}=\;8. Como \displaystyle n=8 é par, a regra de Simpson composta pode ser usada.\n
Os nós são \displaystyle x_{i}=0+ i\cdot 0,25 para i=0,1,\dots,8.

Passo 4

Listando explicitamente os nós:
\begin{aligned} x_{0}&=0,\\\ x_{1}&=0,25,\\\ x_{2}&=0,5,\\\ x_{3}&=0,75,\\\ x_{4}&=1,\\\ x_{5}&=1,25,\\\ x_{6}&=1,5,\\\ x_{7}&=1,75,\\\ x_{8}&=2. \end{aligned}

Passo 5

Agora avaliamos f(x_{i}) em cada nó, lembrando da definição por partes: usamos x^{3}+3 para x\le 1 (inclui x=1) e (x+1)^{2} para x>1.\n
Cálculos (mostrando as contas):
\begin{aligned} f(x_{0})&=f(0)=0^{3}+3=3,\\[4pt] f(x_{1})&=f(0,25)=0,25^{3}+3=0,015625+3=3,015625,\\[4pt] f(x_{2})&=f(0,5)=0,5^{3}+3=0,125+3=3,125,\\[4pt] f(x_{3})&=f(0,75)=0,75^{3}+3=0,421875+3=3,421875,\\[4pt] f(x_{4})&=f(1)=1^{3}+3=1+3=4,\\[4pt] f(x_{5})&=f(1,25)=(1,25+1)^{2}=2,25^{2}=5,0625,\\[4pt] f(x_{6})&=f(1,5)=(1,5+1)^{2}=2,5^{2}=6,25,\\[4pt] f(x_{7})&=f(1,75)=(1,75+1)^{2}=2,75^{2}=7,5625,\\[4pt] f(x_{8})&=f(2)=(2+1)^{2}=3^{2}=9. \end{aligned}]

Passo 6

Agora agrupamos as somas que aparecem na fórmula de Simpson.\n
Soma das avaliações nos índices ímpares ( i=1,3,5,7):
\begin{aligned} \sum_{\text{ímpares}} f(x_{i})&=f(x_{1})+f(x_{3})+f(x_{5})+f(x_{7})\\[4pt] &=3,015625+3,421875+5,0625+7,5625\\[4pt] &=6,4375+12,625=19,0625. \end{aligned}í
Multiplicando por 4
4\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i})=4\cdot 19,0625=76,25.í
Soma das avaliações nos índices pares internos ( i=2,4,6):
\begin{aligned} \sum_{\text{pares}} f(x_{i})&=f(x_{2})+f(x_{4})+f(x_{6})\\[4pt] &=3,125+4+6,25=13,375. \end{aligned}
Multiplicando por 2
2\sum_{\text{pares}} f(x_{i})=2\cdot 13,375=26,75.
As avaliações nas extremidades são
f(x_{0})+f(x_{8})=3+9=12.]

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula de Simpson:
\begin{aligned} \int_{0}^{2} f(x)\,dx &\approx \frac{h}{3}\Big[f(x_{0})+f(x_{8})+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i})+2\sum_{\text{pares}} f(x_{i})\Big]\\[6pt] &= \frac{0,25}{3}\big[12+76,25+26,75\big]. \end{aligned}í
Dentro dos colchetes:
12+76,25+26,75=115.
Logo
\int_{0}^{2} f(x)\,dx \approx \frac{0,25}{3}\cdot 115=\frac{115}{12}=9,\overline{583333}.]

Passo 8

Comentário final curto e motivador: aqui a aproximação deu exatamente \displaystyle \frac{115}{12}, isto acontece porque em [0,1] a função é um polinômio de grau 3 e em [1,2] é um polinômio de grau 2, e o nó \displaystyle x=1 (ponto de mudança) está incluído na malha. A regra de Simpson (que é exata para polinômios até grau 3) aplicada de forma composta sobre esses subintervalos alinhados ao ponto de quebra produz o valor exato. Força que você já tá mandando bem!

Resposta

\displaystyle I\approx \frac{115}{12}=9,583333\ldots

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