Questão 4 - Determine o valor aproximado da integral I=\int_{0}^{2} f(x) d x usando a primeira regra de Simpson com passo de integração de \mathrm{h}=0.25.
f(x)= \begin{cases}x^{3}+3 & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ (x+1)^{2} & \text { se } 1<x \leq 2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral \displaystyle I=\int_{0}^{2} f(x)\,dx\) usando a primeira regra de Simpson com passo de integração \(\displaystyle h=0,25\).\n
A função é dada por partes:
\[f(x)= \begin{cases} x^{3}+3 & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] (x+1)^{2} & \text{se } 1<x\le 2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: o intervalo de integração é [0,2]\], o passo é \(\displaystyle h=0,25 e há uma descontinuidade de definição (mudança de expressão) em \displaystyle x=1.]
Passo 2
Explicando a regra que vamos usar (a primeira regra de Simpson, também chamada de regra composta de Simpson 1/3):\n
Se dividimos [a,b] em n subintervalos de comprimento \displaystyle h=\frac{b-a}{n} com n par, a fórmula composta de Simpson é
onde \displaystyle x_{i}=a+i h são os nós. \n
O que cada coisa significa:\n
\displaystyle h é o passo (comprimento de cada subintervalo).\n
\displaystyle n é o número de subintervalos (deve ser par).\n
\displaystyle x_{0},x_{1},\dots,x_{n} são os pontos onde avaliamos f.\n
O somatório com fator 4 pega as avaliações nos índices ímpares; o com fator 2 pega as avaliações nos índices pares internos.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao nosso caso.\n
Calculamos primeiro \displaystyle n=\frac{b-a}{h}=\frac{2-0}{0,25}=\;8. Como \displaystyle n=8 é par, a regra de Simpson composta pode ser usada.\n
Os nós são \displaystyle x_{i}=0+ i\cdot 0,25 para i=0,1,\dots,8.
Agora avaliamos f(x_{i}) em cada nó, lembrando da definição por partes: usamos x^{3}+3 para x\le 1 (inclui x=1) e (x+1)^{2} para x>1.\n
Cálculos (mostrando as contas):
Comentário final curto e motivador: aqui a aproximação deu exatamente \displaystyle \frac{115}{12}, isto acontece porque em [0,1] a função é um polinômio de grau 3 e em [1,2] é um polinômio de grau 2, e o nó \displaystyle x=1 (ponto de mudança) está incluído na malha. A regra de Simpson (que é exata para polinômios até grau 3) aplicada de forma composta sobre esses subintervalos alinhados ao ponto de quebra produz o valor exato. Força que você já tá mandando bem!