Questão 1 - Uma função f(x) contínua apresentou os pontos abaixo com os x igualmente espaçados.
x -0.5 0 0.5 1.0 1.5
y 2 3 4 8 14
a) Determine o valor da integral I usando a regra do trapézio.
I=\int_{-0.5}^{1.5} f(x) d x
b) Sabendo que a função é f(x)=4 x^{2}+2 x+2, determine o valor absoluto da cota máxima do erro de integração usando a fórmula do erro abaixo.
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12 M^{2}} f^{\prime \prime}(\varepsilon)

Passo 1

O enunciado dá uma função f(x) contínua com valores em pontos igualmente espaçados:
\begin{array}{c|ccccc} x & -0,5 & 0 & 0,5 & 1,0 & 1,5\\hline y & 2 & 3 & 4 & 8 & 14 \end{array}
E pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a integral \displaystyle I=\int_{-0,5}^{1,5} f(x)\,dx usando a regra do trapézio composta.
  2. (b) Sabendo que f(x)=4x^{2}+2x+2, determinar o valor absoluto da cota máxima do erro de integração usando a fórmula
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12 M^{2}} f^{\prime\prime}(\varepsilon).
Informações relevantes que temos explicitamente: os pontos (x,y) listados, os x são igualmente espaçados e o intervalo de integração é de a=-0,5 até b=1,5. Não há outras informações iniciais.

Passo 2

Entendendo a regra do trapézio composta (aula rápida e prática).
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h.
  • Cada subintervalo dá um trapézio cuja área aproximada é h vezes a média das duas alturas.
  • A fórmula composta resulta em
\displaystyle I_{\text{trap}} \approx h\left(\frac{y_0+y_n}{2}+\sum_{k=1}^{n-1} y_k\right),
onde y_k=f(x_k), x_0=a, x_n=b, h=\dfrac{b-a}{n}.
Explicando as variáveis: a e b são os limites de integração; n é o número de subintervalos (quantos trapézios usamos); h é o comprimento de cada subintervalo; y_0 e y_n são os valores nos extremos; \sum_{k=1}^{n-1} y_k é a soma dos valores internos.

Passo 3

Aplicando a regra do trapézio aos dados:
  • Os x dados vão de -0,5 até 1,5 com espaçamento 0,5. Então
\displaystyle h=0,5.
  • O número de subintervalos é n=4 (pois temos 5 pontos, n= número de intervalos = 4).
  • Os valores y são y_0=2,\; y_1=3,\; y_2=4,\; y_3=8,\; y_4=14.
    Agora substituímos na fórmula:
\displaystyle I_{\text{trap}} = h\!\left(\frac{y_0+y_4}{2} + (y_1+y_2+y_3)\right).

Passo 4

Fazendo as contas numericamente passo a passo:
  • Calcule a média dos extremos:
\frac{y_0+y_4}{2}=\frac{2+14}{2}=\frac{16}{2}=8.
  • Some os internos:
y_1+y_2+y_3=3+4+8=15.
  • Some tudo dentro do parêntese:
8+15=23.
  • Multiplique por h=0,5:
I_{\text{trap}}=0,5\times 23=11,5.
Então a aproximação pela regra do trapézio composta é \displaystyle I_{\text{trap}}=11,5.

Passo 5

Agora a parte do erro — interpretar a fórmula dada e explicá-la.
A fórmula fornecida no enunciado é
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12 M^{2}} f^{\prime\prime}(\varepsilon).
Essa é a forma clássica do erro para a regra do trapézio composta escrita com M no lugar de n. Vamos identificar:
  • a e b são os limites (já sabemos: a=-0,5,\; b=1,5).
  • M corresponde ao número de subintervalos n (ou seja, M=n). Vou chamar explicitamente de n porque é a notação padrão.
  • \varepsilon é algum ponto entre a e b (dependência pelo teorema do valor médio), e f^{\prime\prime}(\varepsilon) é a segunda derivada avaliada nesse ponto.
    Para obter uma cota máxima absoluta do erro, usamos
\left|E\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}} \max_{x\in[a,b]} \left|f^{\prime\prime}(x)\right|.
Explicação: substituímos f''(\varepsilon) pelo máximo absoluto de f'' no intervalo para garantir uma cota superior do valor absoluto do erro.

Passo 6

Calcule f^{\prime\prime}(x) para f(x)=4x^{2}+2x+2 e encontre seu máximo no intervalo.
  • Derivando:
f'(x)=8x+2,
f''(x)=8.
Como f''(x)=8 é constante, o máximo absoluto de f'' em [a,b] é \max_{x\in[a,b]}|f''(x)|=8.

Passo 7

Agora substituímos na cota do erro:
  • b-a=1,5-(-0,5)=2.
  • n=4 (já determinado).
    A cota máxima absoluta é
\left|E\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\max_{[a,b]}|f''(x)| =\frac{2^{3}}{12\cdot 4^{2}}\cdot 8.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 4^{2}=16,\qquad 12\cdot 16=192.
Portanto o numerador final é 8\cdot 8=64 e o denominador é 192, ou seja
\left|E\right|\le \frac{64}{192}=\frac{1}{3}.

Resposta

a) \;11,5
b) \;\dfrac{1}{3}

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