Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
onde
é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de
horas de uso e depois de
horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de
horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração
horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
antes das 45 horas de uso, ou seja,
?
antes das 45 horas de uso, ou seja,
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade
com
horas, e pede a probabilidade de falhar antes de 45 horas, isto é a integral
Também informa para aproximar essa integral usando a segunda regra de Simpson com passo de integração
horas. Dados relevantes listados:
Passo 2
Explico qual regra de Simpson usar e por quê, e a fórmula que vamos aplicar. O enunciado pede explicitamente a “segunda regra de Simpson”. Essa expressão normalmente refere-se à regra de Simpson 3/8 (Simpson’s 3/8), que é apropriada quando o número de subintervalos
é múltiplo de
. Aqui:
que é múltiplo de
, portanto aplicar a regra 3/8 de Simpson faz sentido.
A regra de Simpson 3/8 para um único bloco de
subintervalos (pontos
com passo
) é
Aqui
é o tamanho do subintervalo (distância entre pontos consecutivos) e
é o valor da função densidade no ponto
. Vou usar essa fórmula com
,
,
,
e
.
Passo 3
Calculo os nós e evaluações da densidade. A função é
Os nós são
Agora calculo
um a um (mostro o expoente em forma decimal para facilitar):
(Usei aproximações de
,
e
com 9 casas significativas para manter a precisão. Os valores de
estão escritos com 6–9 dígitos para clareza.)]
Passo 4
Aplico a fórmula de Simpson 3/8. Primeiro calculo a soma ponderada dentro dos parênteses:
Substituindo os números:
Passo 5
Agora multiplico pelo fator
. Como
,
Portanto a aproximação da integral é
Interpretação: isso significa que a probabilidade da máquina falhar antes de 45 horas de uso é aproximadamente
, ou cerca de
.
Passo 6
Verificação rápida (aula curta): a distribuição exponencial tem função de distribuição acumulada exata
Para
e
,
o que coincide com a aproximação obtida pela regra de Simpson 3/8 (diferença numérica desprezível). Isso confirma que o cálculo numérico está correto.