Questão 5 - (Probabilidade) A função densidade de probabilidade do tempo de falha (X) de uma máquina é dada por
f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}, \quad x \geq 0onde \mu é o tempo médio, em horas, entre falhas.
A probabilidade da máquina vir a falhar no intervalo de [\mathrm{a}, \mathrm{b}] horas de uso e depois de k horas de uso são obtidas, respectivamente, pelas integrais abaixo
\begin{aligned} & P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x \\\ & P(X>k)=1-\int_{0}^{k} f(x) d x \end{aligned}
Sabendo que que o tempo médio entre falhas é de \mu=200 horas (ou seja, uma falha a cada 200 horas de uso), responda as perguntas a seguir usando a segunda regra de Simpson com passo de integração h=15 horas. Qual a probabilidade da máquina falhar:
antes das 45 horas de uso, ou seja, \mathrm{P}(\mathrm{X}<45) ?

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade
f(x)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}},\quad x\ge 0,
com \mu=200 horas, e pede a probabilidade de falhar antes de 45 horas, isto é a integral
P(X<45)=\int_{0}^{45} f(x)\,dx.
Também informa para aproximar essa integral usando a segunda regra de Simpson com passo de integração h=15 horas. Dados relevantes listados:
\mu=200,\quad a=0,\quad b=45,\quad h=15.

Passo 2

Explico qual regra de Simpson usar e por quê, e a fórmula que vamos aplicar. O enunciado pede explicitamente a “segunda regra de Simpson”. Essa expressão normalmente refere-se à regra de Simpson 3/8 (Simpson’s 3/8), que é apropriada quando o número de subintervalos n é múltiplo de 3. Aqui:
n=\frac{b-a}{h}=\frac{45-0}{15}=3,
que é múltiplo de 3, portanto aplicar a regra 3/8 de Simpson faz sentido.
A regra de Simpson 3/8 para um único bloco de 3 subintervalos (pontos x_0,x_1,x_2,x_3 com passo h) é
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr).
Aqui h é o tamanho do subintervalo (distância entre pontos consecutivos) e f(x_i) é o valor da função densidade no ponto x_i. Vou usar essa fórmula com x_0=0, x_1=15, x_2=30, x_3=45 e h=15.

Passo 3

Calculo os nós e evaluações da densidade. A função é
f(x)=\frac{1}{200}e^{-x/200}.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=15,\quad x_2=30,\quad x_3=45.
Agora calculo f(x_i) um a um (mostro o expoente em forma decimal para facilitar):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=\frac{1}{200}e^{0}=\frac{1}{200}=0,005,\\[4pt] f(x_1)&=f(15)=\frac{1}{200}e^{-15/200}=\frac{1}{200}e^{-0,075}\approx 0,005\cdot 0,927743486\approx 0,004638717,\\[4pt] f(x_2)&=f(30)=\frac{1}{200}e^{-30/200}=\frac{1}{200}e^{-0,15}\approx 0,005\cdot 0,860707976\approx 0,004303540,\\[4pt] f(x_3&)=f(45)=\frac{1}{200}e^{-45/200}=\frac{1}{200}e^{-0,225}\approx 0,005\cdot 0,798516122\approx 0,003992581. \end{aligned}
(Usei aproximações de e^{-0,075}, e^{-0,15} e e^{-0,225} com 9 casas significativas para manter a precisão. Os valores de f(x_i) estão escritos com 6–9 dígitos para clareza.)]

Passo 4

Aplico a fórmula de Simpson 3/8. Primeiro calculo a soma ponderada dentro dos parênteses:
S=f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3).
Substituindo os números:
\begin{aligned} 3f(x_1)&=3\cdot 0,004638717\approx 0,013916151,\\[4pt] 3f(x_2)&=3\cdot 0,004303540\approx 0,012910620,\\[4pt] S&=0,005+0,013916151+0,012910620+0,003992581\\\ &\approx 0,035819352. \end{aligned}]

Passo 5

Agora multiplico pelo fator \dfrac{3h}{8}. Como h=15,
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot 15}{8}=\frac{45}{8}=5,625.
Portanto a aproximação da integral é
\int_{0}^{45} f(x)\,dx \approx 5,625\cdot 0,035819352 \approx 0,20148387.
Interpretação: isso significa que a probabilidade da máquina falhar antes de 45 horas de uso é aproximadamente 0,20148, ou cerca de 20,15\%.

Passo 6

Verificação rápida (aula curta): a distribuição exponencial tem função de distribuição acumulada exata
F(x)=1-e^{-x/\mu}.
Para \mu=200 e x=45,
F(45)=1-e^{-45/200}=1-e^{-0,225}\approx 1-0,798516122\approx 0,201483878,
o que coincide com a aproximação obtida pela regra de Simpson 3/8 (diferença numérica desprezível). Isso confirma que o cálculo numérico está correto.

Resposta

P(X<45)\approx 0,20148387

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