Questão 8 - Determine o valor numérico de x nas seguintes expressões.
|x+1|+|x-1|=5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação envolvendo valor absoluto
|x+1| + |x-1| = 5
O conteúdo aqui é a definição piecewise de valor absoluto. Para resolver, vamos dividir o domínio de x em três regiões onde as expressões dentro dos módulos têm sinais conhecidos:
  1. x \ge 1
  2. -1 \le x < 1
  3. x < -1

Passo 2

Região x \ge 1:
Nesse caso tanto x+1 quanto x-1 são não negativos, então
|x+1| = x+1, \quad |x-1| = x-1.
Substituindo na equação:
(x+1)+(x-1)=5 \;\Longrightarrow\; 2x = 5 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5}{2}.
Como \frac{5}{2}=2{,}5\ge1, essa solução é válida.

Passo 3

Região -1 \le x < 1:
Aqui x+1\ge0 mas x-1<0, logo
|x+1| = x+1, \quad |x-1| = -(x-1)=1-x.
Substituindo:
(x+1)+(1-x)=2 \neq 5.
Não há solução nessa região.

Passo 4

Região x < -1:
Agora x+1<0 e x-1<0, então
|x+1| = -(x+1), \quad |x-1| = -(x-1).
Substituindo:
-(x+1)-\bigl(x-1\bigr)=5 \;\Longrightarrow\; - x - 1 - x + 1 =5 \;\Longrightarrow\; -2x = 5 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{5}{2}.
E de fato -\tfrac{5}{2}=-2{,}5< -1, logo é solução válida.

Resposta

As soluções da equação são
x = -\frac{5}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{5}{2}.

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