Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado dá a série cujos termos são (mostrados nos primeiros termos)
As perguntas são:
- Identificar o termo geral da sequência de termos da série (ou uma expressão que permita trabalhar com a razão entre termos consecutivos).
- Determinar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
. - Em geral, o
-ésimo termo (o termo mostrado na posição com produto até no numerador e até no denominador) será chamado de ; é formado por um produto no numerador que termina em e um produto no denominador que termina em .
Passo 2
Vamos obter uma relação entre termos consecutivos
e
— isso fica claro ao escrever explicitamente
e
.
Escrevendo o termo geral conforme o padrão do enunciado:
Então o termo seguinte é
Dividindo
por
(muito útil para testes de convergência):
Passo 3
Explico o teste que vou usar (de forma direta e prática): o Teste da Razão diz que, para uma série de termos positivos
, se
existe e
, então a série converge absolutamente (logo converge). Se
ou
, diverge. Se
, o teste é inconclusivo. Aqui os termos são positivos, então podemos aplicar o teste da razão.
Passo 4
Calcular o limite da razão que encontramos:
Vamos mostrar que esse quociente tende a
quando
. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por
:
Quando
o numerador tende a
e o denominador tende a
, portanto o quociente tende a
. Assim
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão com o limite calculado: como
conclui-se que a série
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência usual.
Comentário didático final (para ajudar na prova): a razão entre termos consecutivos sendo da ordem de
(mais precisamente aproximadamente
para
grande) faz os termos caírem muito rapidamente; por isso a soma total é finita. O passo crucial em questões desse tipo é sempre escrever a relação entre
e
e aplicar o teste da razão.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).