Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\quad \frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+\frac{1 \cdot 5 \cdots(4 n-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(4 n-4)(4 n-2)}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série cujos termos são (mostrados nos primeiros termos)
\frac{1}{2}+\frac{1\cdot5}{2\cdot4\cdot6}+\cdots+\frac{1\cdot5\cdots(4n-3)}{2\cdot4\cdot6\cdots(4n-4)(4n-2)}+\cdots
As perguntas são:
  • Identificar o termo geral da sequência de termos da série (ou uma expressão que permita trabalhar com a razão entre termos consecutivos).
  • Determinar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O primeiro termo é \dfrac{1}{2}.
  • O segundo termo é \dfrac{1\cdot5}{2\cdot4\cdot6}.
  • Em geral, o n-ésimo termo (o termo mostrado na posição com produto até (4n-3) no numerador e até (4n-2) no denominador) será chamado de a_n; é formado por um produto no numerador que termina em (4n-3) e um produto no denominador que termina em (4n-2).

Passo 2

Vamos obter uma relação entre termos consecutivos a_{n+1} e a_n — isso fica claro ao escrever explicitamente a_n e a_{n+1}.
Escrevendo o termo geral conforme o padrão do enunciado:
a_n=\frac{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)}{2\cdot4\cdot6\cdots(4n-4)\,(4n-2)}.
Então o termo seguinte é
a_{n+1}=\frac{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)\,(4n+1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(4n-4)\,(4n-2)\,(4n)\,(4n+2)}.
Dividindo a_{n+1} por a_n (muito útil para testes de convergência):
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(1\cdot5\cdots(4n-3)\,(4n+1))}{(2\cdot4\cdots(4n-2)\,(4n)\,(4n+2))} \cdot\frac{(2\cdot4\cdots(4n-2))}{(1\cdot5\cdots(4n-3))} =\frac{4n+1}{4n(4n+2)}.

Passo 3

Explico o teste que vou usar (de forma direta e prática): o Teste da Razão diz que, para uma série de termos positivos \sum a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge). Se L>1 ou L=\infty, diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo. Aqui os termos são positivos, então podemos aplicar o teste da razão.

Passo 4

Calcular o limite da razão que encontramos:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4n+1}{4n(4n+2)}=\frac{4n+1}{16n^2+8n}.
Vamos mostrar que esse quociente tende a 0 quando n\to\infty. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por n:
\frac{4n+1}{16n^2+8n} =\frac{4+\tfrac{1}{n}}{16n+8}.
Quando n\to\infty o numerador tende a 4 e o denominador tende a +\infty, portanto o quociente tende a 0. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão com o limite calculado: como
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1,
conclui-se que a série \sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência usual.
Comentário didático final (para ajudar na prova): a razão entre termos consecutivos sendo da ordem de 1/n (mais precisamente aproximadamente 1/(4n) para n grande) faz os termos caírem muito rapidamente; por isso a soma total é finita. O passo crucial em questões desse tipo é sempre escrever a relação entre a_{n+1} e a_n e aplicar o teste da razão.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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