Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{1}{e}+\frac{8}{e^{2}}+\cdots+\frac{n^{3}}{e^{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{e^{n}}=\frac{1}{e}+\frac{8}{e^{2}}+\cdots+\frac{n^{3}}{e^{n}}+\cdots
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{n^{3}}{e^{n}}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge 1.
    A pergunta é: essa série infinita converge (e, se sim, converge absolutamente)?

Passo 2

Escolhendo um método: quando o termo geral envolve um polinômio em n no numerador e uma exponencial em n no denominador, um teste muito eficiente é o teste da razão (ou, alternativamente, o teste da raiz). Vou aplicar o teste da razão porque ele é direto aqui e nos dá uma resposta clara sobre convergência absoluta.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples):
Se a_n\ge0 e existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_n=\dfrac{n^{3}}{e^{n}}. Vou calcular a_{n+1}/a_n e o limite correspondente.

Passo 4

Calcular a razão entre termos consecutivos e o seu limite:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)^{3}}{e^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{3}}{e^{n}}} =\frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\cdot\frac{1}{e} =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{e}.
Agora o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{e} =1\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{e},
porque \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{3}=1 e \dfrac{1}{e} é constante.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste da razão:
Como L=\dfrac{1}{e} e \dfrac{1}{e}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{e^{n}} converge absolutamente. Como os termos são não negativos, isso implica também convergência simples (a série converge).
Uma explicação intuitiva: a exponencial e^{n} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{3}, então os termos n^{3}/e^{n} vão para zero rápido o suficiente para somar a uma quantidade finita.

Passo 6

Comentário adicional (opcional) — teste da raiz por confirmação:
Tomando a raiz n-ésima do termo,
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{n^{3}}{e^{n}}} =\frac{n^{3/n}}{e}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{3/n}=1, tem-se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{e}<1. Pelo teste da raiz, a série também converge absolutamente. Resultado consistente com o teste da razão.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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