Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A série dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
.
A pergunta é: essa série infinita converge (e, se sim, converge absolutamente)?
Passo 2
Escolhendo um método: quando o termo geral envolve um polinômio em
no numerador e uma exponencial em
no denominador, um teste muito eficiente é o teste da razão (ou, alternativamente, o teste da raiz). Vou aplicar o teste da razão porque ele é direto aqui e nos dá uma resposta clara sobre convergência absoluta.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples):
Se e existe o limite
Se
então
- se
, a série converge absolutamente (logo converge); - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Aqui. Vou calcular e o limite correspondente.
Passo 4
Calcular a razão entre termos consecutivos e o seu limite:
Agora o limite quando
:
porque
e
é constante.
Passo 5
Interpretação do resultado do teste da razão:
Como e
, pelo teste da razão a série
converge absolutamente. Como os termos são não negativos, isso implica também convergência simples (a série converge).
Como
Uma explicação intuitiva: a exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio
, então os termos
vão para zero rápido o suficiente para somar a uma quantidade finita.
Passo 6
Comentário adicional (opcional) — teste da raiz por confirmação:
Tomando a raiz -ésima do termo,
Tomando a raiz
Como
, tem-se
. Pelo teste da raiz, a série também converge absolutamente. Resultado consistente com o teste da razão.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).