Questão 5. Determine o valor da soma (caso exista):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+1)}\right)
Dica: Utilize decomposição em frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da soma, se existir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+1)}\right).
Informações dadas:
  • A soma é uma série infinita cuja soma dos termos é \dfrac{1}{n(n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • Foi dada a dica de usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos decompor a expressão \dfrac{1}{n(n+1)} em frações parciais. A ideia é escrever
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1},
onde A e B são constantes que devemos encontrar. Multiplicando ambos os lados por n(n+1) obtemos a identidade
1 = A(n+1)+Bn.
Essa igualdade vale para todo n, então podemos igualar coeficientes de n e termo independente. Escrevendo:
1 = (A+B)\,n + A.
Comparando coeficientes temos o sistema
A+B=0,\qquad A=1.
Da segunda equação vem A=1 e, com isso, B=-1.

Passo 3

Substituindo A e B voltamos à forma telescópica:
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Esta é a identidade chave: cada termo da série é a diferença entre dois termos consecutivos.

Passo 4

Formamos a soma parcial S_N (soma dos N primeiros termos) e usamos a decomposição:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Vamos escrever explicitamente alguns termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_N &= \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right). \end{aligned}
Observe que na soma interna todos os termos intermediários cancelam em pares: -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} com +\frac{1}{3}, e assim por diante. Sobra apenas:
S_N = 1 - \frac{1}{N+1}.

Passo 5

Agora calculamos o limite dos somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right).
Como \dfrac{1}{N+1}\to 0 quando N\to\infty, temos
\lim_{N\to\infty} S_N = 1.

Passo 6

Conclusão e interpretação: a sequência de somas parciais S_N é crescente (todos os termos são positivos) e está limitada acima por 1; o cálculo telescópico mostrou explicitamente S_N=1-\dfrac{1}{N+1}, cujo limite é 1. Portanto a série converge e sua soma é 1. Força aí — telescópica é uma técnica poderosa e rápida para esse tipo de série!

Resposta

\;1

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