Questão 5. Determine o valor da soma (caso exista):
Dica: Utilize decomposição em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor da soma, se existir:
Informações dadas:
- A soma é uma série infinita cuja soma dos termos é
para . - Foi dada a dica de usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos decompor a expressão
em frações parciais. A ideia é escrever
onde
e
são constantes que devemos encontrar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Essa igualdade vale para todo
, então podemos igualar coeficientes de
e termo independente. Escrevendo:
Comparando coeficientes temos o sistema
Da segunda equação vem
e, com isso,
.
Passo 3
Substituindo
e
voltamos à forma telescópica:
Esta é a identidade chave: cada termo da série é a diferença entre dois termos consecutivos.
Passo 4
Formamos a soma parcial
(soma dos
primeiros termos) e usamos a decomposição:
Vamos escrever explicitamente alguns termos para ver o cancelamento:
Observe que na soma interna todos os termos intermediários cancelam em pares:
cancela com
,
com
, e assim por diante. Sobra apenas:
Passo 5
Agora calculamos o limite dos somas parciais quando
:
Como
quando
, temos
Passo 6
Conclusão e interpretação: a sequência de somas parciais
é crescente (todos os termos são positivos) e está limitada acima por
; o cálculo telescópico mostrou explicitamente
, cujo limite é
. Portanto a série converge e sua soma é
. Força aí — telescópica é uma técnica poderosa e rápida para esse tipo de série!