Questão 3
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=x^{3}-3 x+3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{3}-3x+3xy^{2}
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos ( \nabla f=0) e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{2}-3+3y^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y} =6xy.

Passo 3

Para pontos críticos resolvemos
3x^{2}-3+3y^{2}=0 \quad\text{e}\quad 6xy=0.
Da segunda equação vem x=0 ou y=0. Se x=0, a primeira dá y^{2}=1, gerando (0,1) e (0,-1). Se y=0, a primeira dá x^{2}=1, gerando (1,0) e (-1,0). Logo, os pontos críticos são
(1,0),\;(-1,0),\;(0,1),\;(0,-1).

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana:
f_{xx}=6x,\quad f_{yy}=6x,\quad f_{xy}=6y,
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} =36x^{2}-36y^{2} =36\,(x^{2}-y^{2}).

Passo 5

Avaliamos D e f_{xx} em cada ponto:
  • Em (1,0):
    D=36(1-0)=36>0 e f_{xx}=6>0 \Rightarrow mínimo local.
  • Em (-1,0):
    D=36(1-0)=36>0 e f_{xx}=-6<0 \Rightarrow máximo local.
  • Em (0,1) e (0,-1):
    D=36(0-1)=-36<0 \Rightarrow pontos de sela.

Resposta

O ponto de mínimo local é (1,0) com f(1,0)=-2.
O ponto de máximo local é (-1,0) com f(-1,0)=2.
Os pontos de sela são (0,1) e (0,-1).

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