Questão 3
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos (
) e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para pontos críticos resolvemos
Da segunda equação vem
ou
. Se
, a primeira dá
, gerando
e
. Se
, a primeira dá
, gerando
e
. Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana:
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto:
- Em
:
e mínimo local. - Em
:
e máximo local. - Em
e :
pontos de sela.
Resposta
O ponto de mínimo local é
com
.
O ponto de máximo local é com
.
Os pontos de sela são e
.
O ponto de máximo local é
Os pontos de sela são