Questão 2
Seja f(x, y)=x^{2} \ln (y) e P=(3,1) um ponto do seu domínio. Determine:
(a) A direção, a partir de P, em que a variação máxima de f ocorre.
(b) A taxa de variação máxima da função f em P.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}\ln(y)
e o ponto P=(3,1). Precisamos usar o conceito de gradiente para achar (a) a direção de máxima variação de f em P e (b) a taxa máxima de variação nesse ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\ln(y)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^{2}}{y}
logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x\ln(y),\,\tfrac{x^{2}}{y}\bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(3,1). Como \ln(1)=0, temos
\nabla f(3,1)=\bigl(2\cdot3\cdot0,\;\tfrac{3^{2}}{1}\bigr)=(0,9).

Passo 4

A direção de máxima variação é a direção do vetor gradiente. Em P, \nabla f(3,1)=(0,9), cuja versão unitária é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{0^{2}+9^{2}}}(0,9)=(0,1).

Passo 5

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente em P:
\bigl\|\nabla f(3,1)\bigr\|=\sqrt{0^{2}+9^{2}}=9.

Resposta

(a) A direção unitária de máxima variação em P é (0,1).
(b) A taxa de variação máxima em P é 9.

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