Questão 1
Mostre que a função u(x, y)=e^{-x}(x \operatorname{sen}(y)-y \cos (y)) satisfaz a equação de Laplace bidimensional
u_{x x}+u_{v v}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,y)=e^{-x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)\bigr)
satisfaz a equação de Laplace bidimensional
u_{xx}+u_{yy}=0.
Para isso vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e verificar que a soma delas é zero.

Passo 2

Calcular u_x aplicando a regra do produto a e^{-x} e \bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)\bigr):
u_x =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{-x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)\bigr)\Bigr] =-e^{-x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)\bigr) +e^{-x}\,\operatorname{sen}(y)
u_x =e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\bigr).

Passo 3

Calcular u_{xx} derivando u_x em relação a x:
u_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\bigr)\Bigr]
=-e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\bigr) +e^{-x}\bigl(-\operatorname{sen}(y)\bigr)
u_{xx} =e^{-x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)-2\,\operatorname{sen}(y)\bigr).

Passo 4

Calcular u_y derivando u em relação a y:
u_y =e^{-x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)\bigr) =e^{-x}\bigl(x\cos(y)-\cos(y)+y\sin(y)\bigr).

Passo 5

Calcular u_{yy} derivando u_y em relação a y:
u_{yy} =e^{-x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\cos(y)-\cos(y)+y\sin(y)\bigr)
=e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+\operatorname{sen}(y)+\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr)
u_{yy} =e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+2\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr).

Passo 6

Somar u_{xx} e u_{yy}:
u_{xx}+u_{yy} =e^{-x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)-2\,\operatorname{sen}(y)\bigr) +e^{-x}\bigl(-x\,\operatorname{sen}(y)+2\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr)
=e^{-x}\bigl[\,x\,\operatorname{sen}(y)-y\cos(y)-2\,\operatorname{sen}(y) -x\,\operatorname{sen}(y)+2\,\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr] =0.
Portanto, u_{xx}+u_{yy}=0.

Resposta

A função u(x,y) satisfaz a equação de Laplace bidimensional porque u_{xx}+u_{yy}=0.

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