Resolva as EDOs de 1^O ordem lineares abaixo
x^2 d yd x+x y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de 1ª ordem linear que é x^2 dydx + x y = 1 . Para isso, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por x^2 :
dydx + 1x y = 1x^2
Agora, identificamos P(x) = 1x e Q(x) = 1x^2 .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 1x , temos:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x
(Note que usamos e^ln|x| = x porque x > 0 no contexto da equação.)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante mu(x) = x :
x cdot dydx + x cdot 1x y = x cdot 1x^2
Simplificando:
x dydx + y = 1x
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto y cdot mu(x) :
ddx(y cdot x) = 1x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx(y cdot x) dx = integral 1x dx
Isso nos dá:
y cdot x = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y para obter a solução geral da equação:
y = ln|x| + Cx
Como estamos considerando x > 0 , podemos simplificar para:
y = ln x + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ln x + Cx
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados