QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=x e^-y+y e^-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função z = x e^-y + y e^-x no ponto (1,1). O gradiente é importante porque mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função de duas variáveis z = f(x, y) é dado por:
nabla z = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x ( x e^-y + y e^-x )
Aqui, tratamos y como uma constante. A derivada de x e^-y em relação a x é e^-y , e a derivada de y e^-x em relação a x é -y e^-x . Então:
partial zpartial x = e^-y - y e^-x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y ( x e^-y + y e^-x )
Aqui, tratamos x como uma constante. A derivada de x e^-y em relação a y é -x e^-y , e a derivada de y e^-x em relação a y é e^-x . Então:
partial zpartial y = -x e^-y + e^-x

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar elas no ponto (1,1). Primeiro, calculamos partial zpartial x em (1,1):
partial zpartial x g|(1,1) = e^-1 - 1 cdot e^-1 = e^-1 - e^-1 = 0
Em seguida, calculamos partial zpartial y em (1,1):
partial zpartial y g|(1,1) = -1 cdot e^-1 + e^-1 = -e^-1 + e^-1 = 0

Resposta

O vetor gradiente da função z = x e^-y + y e^-x no ponto (1,1) é nabla z = (0, 0) .

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