QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função no ponto (1,1). O gradiente é importante porque mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função de duas variáveis é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar elas no ponto (1,1). Primeiro, calculamos em (1,1):
Em seguida, calculamos partial zpartial y em (1,1):