Resolva as EDOs de 1^O ordem lineares abaixo
d yd x=2 y+x+5

Passo 1

Vamos resolver a EDO de 1ª ordem linear dada por dydx = 2y + x + 5. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de uma EDO de 1ª ordem: dydx - 2y = x + 5. Aqui, P(x) = -2 e Q(x) = x + 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) usando a fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral -2 , dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-2x dydx - 2 e^-2x y = e^-2x(x + 5)
Isso simplifica para:
ddx ( e^-2x y ) = e^-2x(x + 5)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^-2x y ) , dx = integral e^-2x(x + 5) , dx
O lado esquerdo fica:
e^-2x y = integral e^-2x(x + 5) , dx + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, usamos a técnica de integração por partes. Vamos integrar e^-2xx e e^-2x5 separadamente:
integral e^-2xx , dx = -12 e^-2x(x + 12)
integral e^-2x5 , dx = -52 e^-2x
Portanto:
integral e^-2x(x + 5) , dx = -12 e^-2x(x + 12) - 52 e^-2x + C

Passo 7

Substituímos a integral resolvida na equação anterior:
e^-2x y = -12 e^-2x(x + 12) - 52 e^-2x + C
Multiplicando ambos os lados por e^2x para isolar y:
y = -12(x + 12) - 52 + C e^2x
Simplificando:
y = -12x - 14 - 52 + C e^2x = -12x - 114 + C e^2x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = -12x - 114 + C e^2x

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