QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de derivadas parciais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso, como a função tem duas variáveis
e
, o gradiente vai ter duas componentes:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é simplesmente . - A derivada de
em relação a é (usamos a regra da cadeia aqui).
Então,
Agora, substituímos
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a também é .
Então,
Substituindo
e
:
Resposta
O vetor gradiente da função no ponto
é: