QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=x y+ln (x+y)

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o vetor gradiente da função z = xy + ln(x + y) no ponto (1, 1). Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de derivadas parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso, como a função tem duas variáveis x e y, o gradiente vai ter duas componentes:
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x:
partial zpartial x = partialpartial x(xy) + partialpartial xln(x + y)
  • A derivada de xy em relação a x é simplesmente y.
  • A derivada de ln(x + y) em relação a x é 1x + y (usamos a regra da cadeia aqui).
Então,
partial zpartial x = y + 1x + y
Agora, substituímos x = 1 e y = 1:
partial zpartial x = 1 + 11 + 1 = 1 + 12 = 32

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y:
partial zpartial y = partialpartial y(xy) + partialpartial yln(x + y)
  • A derivada de xy em relação a y é x.
  • A derivada de ln(x + y) em relação a y também é 1x + y.
Então,
partial zpartial y = x + 1x + y
Substituindo x = 1 e y = 1:
partial zpartial y = 1 + 11 + 1 = 1 + 12 = 32

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto (1, 1) é:
nabla z = ( 32, 32 )

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