QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=x^3 / 2 y^-4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função z = x^32 y^-4 e queremos encontrar o vetor gradiente dessa função no ponto (1,1). Isso envolve calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y e, então, avaliar essas derivadas no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , que é partial zpartial x . Para isso, tratamos y como uma constante:
partial zpartial x = 32 x^12 y^-4

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y , que é partial zpartial y . Aqui, tratamos x como constante:
partial zpartial y = -4 x^32 y^-5

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, montamos o vetor gradiente, que é simplesmente um vetor formado por essas duas derivadas:
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) = ( 32 x^12 y^-4, -4 x^32 y^-5 )

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto (1,1). Substituindo x = 1 e y = 1 :
Para a primeira componente:
32 cdot 1^12 cdot 1^-4 = 32
Para a segunda componente:
-4 cdot 1^32 cdot 1^-5 = -4

Resposta

O vetor gradiente no ponto (1,1) é nabla z = ( 32, -4 ) .

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