Resolva o PVI
l x y^prime+y=e^x ; y(1)=2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. Para isso, vamos precisar usar os métodos de equações diferenciais lineares e aplicar fatores integrantes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
x cdot y' + y = e^x
Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial y(1) = 2 . Para resolver isso, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y' + P(x) cdot y = Q(x)
Para conseguir isso, dividimos todos os termos por x (supondo que x neq 0 ):
y' + 1x cdot y = e^xx
Aqui, identificamos que:
  • P(x) = 1x
  • Q(x) = e^xx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) , que nos ajuda a resolver a equação diferencial linear. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) na fórmula:
mu(x) = e^integral 1x , dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação diferencial por mu(x) = x :
x cdot y' + y = e^x
Perceba que isso é equivalente à equação original. Agora, a equação pode ser escrita como a derivada do produto mu(x) cdot y :
ddx(x cdot y) = e^x
Para encontrar y , vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx(x cdot y) , dx = integral e^x , dx
Isso resulta em:
x cdot y = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para y :
y = e^x + Cx
Para encontrar o valor de C , usamos a condição inicial y(1) = 2 . Substituindo x = 1 e y = 2 na equação:
2 = e^1 + C1 2 = e + C C = 2 - e

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = e^x + 2 - ex

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