QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=e^x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar o vetor gradiente da função z = e^x - 2y no ponto (1,1). O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e o conceito de vetor gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, a função tem duas variáveis: x e y . Então, o vetor gradiente nabla z será:
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x ( e^x - 2y )
Como a derivada de e^u em relação a u é e^u multiplicado pela derivada de u em relação a x , temos:
partial zpartial x = e^x - 2y cdot partialpartial x (x - 2y) = e^x - 2y cdot 1 = e^x - 2y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y ( e^x - 2y )
Usando a mesma regra da derivada de e^u , temos:
partial zpartial y = e^x - 2y cdot partialpartial y (x - 2y) = e^x - 2y cdot (-2) = -2e^x - 2y

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
nabla z = ( e^x - 2y, -2e^x - 2y )

Passo 6

Por fim, vamos substituir o ponto (1,1) na expressão do gradiente:
nabla z|(1,1) = ( e^1 - 2 cdot 1, -2e^1 - 2 cdot 1 ) = ( e^-1, -2e^-1 )
Sabendo que e^-1 é aproximadamente 0,3679, podemos deixar a resposta em termos de e^-1 ou arredondar se necessário.

Resposta

O vetor gradiente no ponto (1,1) é nabla z = ( e^-1, -2e^-1 ) .

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