QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar o vetor gradiente da função
no ponto (1,1). O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e o conceito de vetor gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, a função tem duas variáveis:
e
. Então, o vetor gradiente
será:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a mesma regra da derivada de
, temos:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Passo 6
Por fim, vamos substituir o ponto (1,1) na expressão do gradiente:
Sabendo que
é aproximadamente 0,3679, podemos deixar a resposta em termos de
ou arredondar se necessário.
Resposta
O vetor gradiente no ponto (1,1) é
.