QUESTÃO 2-O trabalho W realizado por um gás que se expande/contrai em um pistão partindo de um volume V_{0} até um volume V_{f} é dado por
W=\int_{V_{0}}^{V_{f}} p_{e x t} d V
em que p_{\text {ext }} é a pressão externa exercida sobre o gás. A transformação é dita reversível se, a todo instante, a pressão externa é igual à pressão interna sobre o gás. Além disso, o gás é dito ideal se a sua pressão (interna) satisfaz a equação de estado:
p V=n R T,
em que V é o volume do gás, n é o número de mols, R é a constante universal dos gases ideais e T é a temperatura em escala absoluta ( p. ex., em Kelvin). Determine uma expressão para o trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação
b) Isotérmica (à temperatura constante) e reversível,

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão do trabalho
W = \int_{V_{0}}^{V_{f}} p_{\text{ext}}\,dV
e diz que a transformação é reversível (logo p_{\text{ext}} = p_{\text{int}}) e que o gás é ideal, obedecendo a
pV = nRT.
Na parte (b) a transformação é isotérmica ( T constante) e reversível. Precisamos então expressar p_{\text{ext}} em função de V e integrar.

Passo 2

Em uma transformação isotérmica e reversível vale
p_{\text{ext}} = p_{\text{int}} = \frac{nRT}{V},
onde nRT é constante porque T não varia.

Passo 3

Substituindo essa pressão na integral do trabalho, temos
W = \int_{V_{0}}^{V_{f}} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT \int_{V_{0}}^{V_{f}} \frac{dV}{V}.

Passo 4

A integral de 1/V é o logaritmo natural, então
W = nRT \Bigl[\ln(V)\Bigr]_{V_{0}}^{V_{f}} = nRT \ln\!\bigl(\tfrac{V_{f}}{V_{0}}\bigr).

Resposta

W = nRT \ln\bigl(\tfrac{V_{f}}{V_{0}}\bigr)

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