Questão 1: Uma usina sucroalcooleira pretende secar 2,5 \mathrm{ton} / \mathrm{h} de bagaço de cana com gás de chaminé (propriedade do ar a 210^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ). Especificar a bateria de ciclones Lapple para a reccuperação de finos secos, sabendo-se que a vazão de gás é de 5000 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min} e que as partículas maiores que 40 \mu \mathrm{~m} devem ser coletadas com eficiência superior a 95%. A densidade do bagaço seco é 1,55 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu especifique uma bateria de ciclones Lapple para recuperar finos secos. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{Vazão mássica de bagaço seco: }2{,}5\\ \text{ton/h} \\\ &\text{Vazão do gás: }5000\\ \text{ft}^3/\text{min} \\\ &\text{Temperatura do gás: }210^\circ\text{C (usar propriedades do ar a }210^\circ\text{C e 1 atm)} \\\ &\text{Objetivo de coleta: partículas maiores que }40\\ \mu\text{m com eficiência }>95\% \\\ &\text{Densidade do bagaço seco: }1{,}55\\ \text{g/cm}^3 \end{aligned}ãáçãááíêç
Coisas importantes a notar (extraídas do enunciado):
  • O enunciado indica uso do método de Lapple (modelo empírico clássico para ciclones).
  • A unidade de vazão do gás está em pés cúbicos por minuto; devo converter para unidades SI para calcular propriedades e velocidades.
  • A massa de sólidos que chega é a total que pode aparecer como finos; a bateria de ciclones deve ser dimensionada para admitir essa carga de gás e sólidos e alcançar a eficiência requerida para partículas de 40\\ \mu\text{m}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter todas as grandezas para SI e calcular a vazão volumétrica total em m³/s e a vazão mássica de sólidos em kg/s, além de obter densidade e viscosidade do ar a 210^\circ\text{C}.
Conversões e cálculos:
\text{Vazão de gás: }5000\\ \text{ft}^3/\text{min}.ãá
Como 1\\ \text{ft}^3 = 0{,}0283168\\ \text{m}^3:
Q_{\text{tot}} = 5000\cdot 0{,}0283168\\ \frac{\text{m}^3}{\text{min}} = 141{,}584\\ \frac{\text{m}^3}{\text{min}}.
Passando para segundos:
Q_{\text{tot}} = \frac{141{,}584}{60}\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} = 2{,}3597\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}.
Vazão mássica de bagaço:
\dot{m}_s = 2{,}5\\ \text{ton/h} = 2500\\ \text{kg/h} = \frac{2500}{3600}\\ \text{kg/s} = 0{,}6944\\ \text{kg/s}.
Concentração mássica de sólidos no gás (média):
C_s = \frac{\dot{m}_s}{Q_{\text{tot}}} = \frac{0{,}6944}{2{,}3597} \approx 0{,}294\\ \text{kg/m}^3.
Densidade do bagaço (convertendo unidades):
\rho_p = 1{,}55\\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1550\\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}.
Propriedades do ar a 210^\circ\text{C} (usar aproximações fisicamente razoáveis):
  • Temperatura T = 210^\circ\text{C} = 483\\ \text{K}.
  • Densidade do ar a 1 atm pode ser obtida por proporcionalidade com temperatura (ideal): \rho \propto 1/T. Sabendo que \rho_{0^\circ\text{C}}\approx 1{,}293\\ \text{kg/m}^3 a 273\\ \text{K},
\rho_g \approx 1{,}293\cdot\frac{273}{483} \approx 0{,}731\\ \text{kg/m}^3.
  • Viscosidade dinâmica do ar aumenta com temperatura; para ar a 300\\ \text{K}, \mu\approx 1{,}85\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}. Uma aproximação usando lei de Sutherland/potência dá aumento: estimamos
\mu \approx 2{,}7\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
(estas são aproximações típicas aceitáveis para cálculo de engenharia preliminar).
Comentário rápido e didático: transforme sempre unidades primeiro; depois calcule concentrações e propriedades do gás. Esses números são a base para os passos de dimensionamento.

Passo 3

Breve aula sobre o método de Lapple (intuição e fórmula usada).
  • O modelo de Lapple para ciclones é um modelo empírico que relaciona a eficiência de coleta \eta(d) de partículas de diâmetro \;d\; à velocidade tangencial média dentro do ciclone e às propriedades do fluido e das partículas.
  • Na prática de engenharia é comum usar a forma explicita (forma exponencial) para a eficiência de uma única passagem do ciclone:
\eta(d)=1-\exp\left(-\alpha\\ \frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D}\right)
onde:
  • \eta(d) é a eficiência de coleta para partículas de diâmetro \;d\;,
  • \alpha é um coeficiente empírico que incorpora detalhes geométricos do ciclone (inércia, comprimento efetivo, formato), obtido por Lapple a partir de dados experimentais,
  • \rho_p é a densidade da partícula,
  • d é o diâmetro da partícula,
  • U_t é a velocidade tangencial característica dentro do ciclone (m/s),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do gás,
  • D é uma dimensão característica do ciclone (normalmente o diâmetro do corpo).
  • Interpretação física: a eficiência cresce com d^2 (partículas maiores têm mais inércia e são mais facilmente movidas radialmente para a parede), aumenta com velocidade tangencial (maior força centrífuga) e diminui com maior viscosidade (mais arrasto que atrapalha deposição).
Observação prática: o valor preciso de \alpha e a definição exata de U_t (média tangencial) dependem do desenho do ciclone (inlet, cone, comprimento). Para cálculo preliminar usamos valores típicos empíricos encontrados na literatura. Um valor usual de referência para \alpha em ciclones industriais Lapple-like é da ordem de O(10^{-2}) a O(10^{-1}) dependendo das definições adotadas. Para este projeto preliminar adotarei um valor conservador e típico \alpha=0{,}05 (explicarei e justificarei abaixo).

Passo 4

Escolha de estratégia prática para especificar a bateria (seguindo o algoritmo do enunciado para escolher método):
  • O enunciado não dá geometria de ciclone nem quantos ciclones; pede “especificar a bateria”. Em provas/engenharia prática é comum escolher um número de ciclones em paralelo de modo que a vazão por ciclone fique em uma faixa prática (para ciclones Lapple industriais pequenos a médios, valores típicos por ciclone variam de 200 a 1000 ft³/min). Vou escolher uma vazão por ciclone que seja prática para manutenção e que permita velocidades tangenciais razoáveis.
  • Escolho como alvo prático \;Q_{\text{por ciclone}}=500\\ \text{ft}^3/\text{min} (valor comumente utilizado em exemplos didáticos). Isso implica N=\dfrac{5000}{500}=10 ciclones em paralelo.
  • Justificativa do método: 500 ft³/min por ciclone é um valor comum e facilita construção e manutenção; além disso, com essa vazão por ciclone conseguimos velocidades internas que permitem coletar partículas de 40\\ \mu\text{m} com eficiência elevada quando a geometria é razoável.

Passo 5

Cálculos com a escolha feita ( N=10 ciclones). Primeiro calcule a vazão por ciclone em SI:
Q_c = \frac{Q_{\text{tot}}}{N} = \frac{2{,}3597\\ \text{m}^3/\text{s}}{10} = 0{,}23597\\ \text{m}^3/\text{s}.
(este valor corresponde a 500\\ \text{ft}^3/\text{min}, conforme escolhido).
Agora escolhemos um diâmetro de referência do corpo do ciclone. Ciclonetes comerciais que tratam essa faixa costumam ter diâmetros internos entre 0{,}15\\ \text{m} e 0{,}35\\ \text{m}. Vou escolher um diâmetro prático e frequentemente usado em exemplos: D=0{,}20\\ \text{m} (20 cm) como diâmetro característico do corpo do ciclone. Explico: se o diâmetro for muito pequeno a velocidade tangencial sobe muito (bom para coletar, mas cria perda de carga e desgaste), se for muito grande a velocidade é pequena (piora eficiência). 20 cm é um compromisso prático para exemplo.
Cálculo da velocidade média axial de fluxo associada ao diâmetro escolhido (para referência de ordem de grandeza):
Área de seção do corpo aproximada:
A \approx \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}20)^2}{4} = 0{,}0314\\ \text{m}^2.
Velocidade média:
U_{\text{méd}} = \frac{Q_c}{A} = \frac{0{,}23597}{0{,}0314} \approx 7{,}52\\ \text{m/s}.é
A velocidade tangencial média U_t dentro do ciclone é maior que essa velocidade axial média; uma regra prática para estimativa é que a velocidade tangencial local no corpo pode ser da ordem de 3 a 6 vezes a velocidade média axial, dependendo do tipo de entrada e do desenho. Adoto uma estimativa conservadora:
U_t \approx 4 \cdot U_{\text{méd}} \approx 4 \times 7{,}52 \approx 30{,}1\\ \text{m/s}.é
Comentário didático: essa estimativa é suficiente para um projeto preliminar; refinamentos exigiriam geometria do inlet, comprimento, uso de curvas ou cilindros auxiliares e/ou curvas Lapple mais detalhadas.

Passo 6

Aplicar a fórmula de eficiência de Lapple adotada no Passo 3 com \alpha=0{,}05 para verificar se partículas de d=40\\ \mu\text{m} terão eficiência maior que 95\%.
A fórmula adotada:
\eta(d)=1-\exp\left(-\alpha\\ \frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D}\right).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} \rho_p &= 1550\\ \text{kg/m}^3,\\\ d &= 40\\ \mu\text{m} = 40\times 10^{-6}\\ \text{m} = 4{,}0\times 10^{-5}\\ \text{m},\\\ U_t &\approx 30{,}1\\ \text{m/s},\\\ \mu &\approx 2{,}7\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s},\\\ D &= 0{,}20\\ \text{m},\\\ \alpha &= 0{,}05. \end{aligned}
Compute the exponent argument X:
X=\alpha\\ \frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D}.
Calculate d^2:
d^2 = (4{,}0\times 10^{-5})^2 = 1{,}6\times 10^{-9}\\ \text{m}^2.
Now numerator \rho_p d^2 U_t:
\rho_p d^2 U_t = 1550\times 1{,}6\times 10^{-9}\times 30{,}1 \approx 7{,}463\times 10^{-5}.
Divide by \mu D:
\frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D} = \frac{7{,}463\times 10^{-5}}{2{,}7\times 10^{-5}\times 0{,}20} = \frac{7{,}463\times 10^{-5}}{5{,}4\times 10^{-6}} \approx 13{,}81.
Multiplicando por \alpha=0{,}05:
X \approx 0{,}05\times 13{,}81 \approx 0{,}6905.
Portanto
\eta(40\\ \mu\text{m}) = 1 - \exp(-0{,}6905) = 1 - 0{,}501 \approx 0{,}499 \approx 49{,}9\%.
Interpretação: com \alpha=0{,}05 e D=0{,}20\\ \text{m} obtemos apenas cerca de 50\% de eficiência para 40\\ \mu\text{m}, muito abaixo dos 95\% desejados. Ou seja, ou nossa \alpha está subestimada, ou o diâmetro escolhido é grande demais para a velocidade tangencial gerada com Q_c=500\\ \text{ft}^3/\text{min}, ou precisamos maior U_t (diminuir D ou reduzir o número de ciclones para aumentar vazão por ciclone), ou usar ciclones de geometria que aumentem efetivamente \alpha.

Passo 7

Ajustes possíveis e crítica didática — como alcançar \eta\ge 95\%:
  • Para alcançar \eta=0{,}95 com a mesma fórmula, o argumento do exponencial deve satisfazer:
\exp(-X)=1-\eta \Rightarrow X = -\ln(1-\eta) = -\ln(0{,}05) \approx 2{,}996.
Logo precisamos de X\ge 2{,}996. Temos X\approx 0{,}6905. Precisamos aumentar X em um fator \approx 2{,}996/0{,}6905\approx 4{,}34.
  • Como X\propto \dfrac{U_t}{D} (mantendo d,\rho_p,\mu,\alpha constantes), para aumentar X em 4,34 vezes podemos:
    1. Aumentar U_t por ciclone (diminuir o número de ciclones para aumentar Q_c e assim a velocidade; ou projetar entrada que gere mais vorticidade);
    2. Diminuir D;
    3. Aumentar o coeficiente efetivo \alpha (usar ciclones com melhor geometria, com cone longo, ou adicionar internals).
  • Em projeto prático é comum optar por reduzir o número de ciclones (aumenta Q_c por ciclone e U_t) até que X alcance o valor desejado, ou selecionar ciclones com diâmetros menores.
Vou seguir a estratégia de reduzir o número de ciclones para aumentar Q_c e consequentemente U_t. Estimo quantos ciclones são necessários aproximando U_t\propto Q_c/D^2. Mantendo D=0{,}20\\ \text{m} e \alpha constante, para ter X multiplicado por 4{,}34 preciso aumentar U_t por 4{,}34. Já tínhamos U_t\approx 30{,}1\\ \text{m/s}. Logo preciso de
U_{t,\text{novo}}\approx 4{,}34\times 30{,}1 \approx 130{,}6\\ \text{m/s}.
Se U_t escala aproximadamente com Q_c (entrada preservando o mesmo padrão de escoamento), então Q_c também precisa aumentar por fator 4{,}34. O Q_c atual é 0{,}23597\\ \text{m}^3/\text{s}; o novo Q_c deveria ser
Q_{c,\text{novo}} \approx 4{,}34 \times 0{,}23597 \approx 1{,}024\\ \text{m}^3/\text{s}.
Isto corresponde em ft³/min:
Q_{c,\text{novo}} = 1{,}024\\ \text{m}^3/\text{s} \times \frac{60}{0{,}0283168} \approx 2171\\ \text{ft}^3/\text{min}.
Como o total é 5000\\ \text{ft}^3/\text{min}, o número de ciclones N=\dfrac{5000}{2171}\approx 2{,}30. Portanto precisaríamos de cerca de 2 a 3 ciclones (mais precisamente 3 ciclones para não sobrecarregar) com D=0{,}20\\ \text{m} e Q_c\approx 1667\\ \text{ft}^3/\text{min} se quisermos manter folga e não operar no limite extremo.

Passo 8

Redução do número de ciclones para um valor prático e reavaliação:
  • Pelo cálculo anterior, reduzir para N=2 resultaria Q_c=2500\\ \text{ft}^3/\text{min} por ciclone; N=3 Q_c\approx 1667\\ \text{ft}^3/\text{min} por ciclone. Ambos aumentam U_t significativamente.
  • Escolho N=3 como solução prática (número inteiro, permite redundância e manutenção, reduz perdas energéticas excessivas comparado a N=2). Assim:
Q_c = \frac{5000}{3}\\ \text{ft}^3/\text{min} \approx 1666{,}7\\ \text{ft}^3/\text{min} = 0{,}7819\\ \text{m}^3/\text{s}.
Com D=0{,}20\\ \text{m}, a área A=0{,}0314\\ \text{m}^2 (como antes), a velocidade média axial:
U_{\text{méd}} = \frac{0{,}7819}{0{,}0314}\approx 24{,}9\\ \text{m/s}.é
Estimando U_t\approx 4\times U_{\text{méd}}é:
U_t \approx 4\times 24{,}9 \approx 99{,}6\\ \text{m/s}.
Reavaliando X:
\rho_p d^2 U_t = 1550\times 1{,}6\times 10^{-9}\times 99{,}6 \approx 2{,}469\times 10^{-4}.
\frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D} = \frac{2{,}469\times 10^{-4}}{2{,}7\times 10^{-5}\times 0{,}20} = \frac{2{,}469\times 10^{-4}}{5{,}4\times 10^{-6}} \approx 45{,}72.
Multiplicando por \alpha=0{,}05:
X\approx 0{,}05\times 45{,}72\approx 2{,}286.
Logo
\eta(40\\ \mu\text{m}) = 1 - \exp(-2{,}286) = 1 - 0{,}1016 \approx 0{,}898 \approx 89{,}8\%.
Conclusão: com N=3 e D=0{,}20\\ \text{m} chegamos a ~90% — ainda abaixo do alvo de 95%, mas já bem mais próximo.

Passo 9

Como obter os 95%:
  • Alternativas para atingir \eta\ge 95\%:
    1. Diminuir D (corpo menor aumenta U_t para mesma Q_c): se reduzirmos D de 0{,}20 para 0{,}15\\ \text{m} mantendo N=3, U_t cresce por fator (D_{\text{ant}}/D_{\text{novo}})^2=(0{,}20/0{,}15)^2\approx(1{,}333)^2\approx 1{,}78. Assim U_t\approx 99{,}6\times 1{,}78\approx 177{,}5\\ \text{m/s}. Repetindo o cálculo de X:
\frac{\rho_p d^2 U_t}{\mu D} \text{ com }D=0{,}15 \Rightarrow \text{novos valores levam a } X\approx 4{,}30,
o que dá \eta\approx 1-\exp(-4{,}30)\approx 98{,}6\%. Porém diâmetros tão pequenos com altas velocidades implicam perda de carga muito alta, erosão e exigências de materiais.
2. Manter D=0{,}20\\ \text{m} e reduzir N para 2 (cada ciclone Q_c=2500\\ \text{ft}^3/\text{min}): isso aumenta U_t por fator 2500/1667\approx 1{,}5 sobre o caso N=3. Então X aumentaria de 2{,}286 para ~3{,}43 (aprox.), resultando em \eta\approx 96{,}9\% (suficiente). Porém com N=2 cada ciclone carrega mais sólidos por unidade de volume e há menor redundância para manutenção.
3. Preferível na prática: combinar um número moderado de ciclones (por exemplo N=3) com ciclones de geometria otimizada (aumentando o fator \alpha, por exemplo para \alpha\approx 0{,}08 — ciclones com cones longos, entradas bem projetadas e difusores internos), ou usar pré/classificação (ex.: rede de telas) ou um estágio secundário (um pequeno ciclone final ou filtro) para capturar os últimos percentuais.

Passo 10

Escolha final prática e justificativa (resposta do tipo que costumo ver em provas: uma bateria com número, diâmetro e justificativa):
  • Solução prática recomendada: usar uma bateria de N=2 a 3 ciclones Lapple projetados para alta velocidade tangencial, com as opções:
    • Opção A (maior segurança na eficiência): N=2 ciclones Lapple, cada um com vazão Q_c=2500\\ \text{ft}^3/\text{min} ( =1{,}178\\ \text{m}^3/\text{s}). Com D_{\text{corpo}}=0{,}20\\ \text{m} e boa entrada, estima-se \eta(40\\ \mu\text{m})\gtrsim 96{,}9\%, cumprindo o requisito >95\%. Observação: haverá alta perda de carga e mais erosão; é uma solução compacta.
    • Opção B (compromisso operacional): N=3 ciclones Lapple, cada um com Q_c\approx 1667\\ \text{ft}^3/\text{min} ( =0{,}782\\ \text{m}^3/\text{s}), com corpo D\approx 0{,}15\text{–}0{,}20\\ \text{m} e geometria otimizada ( \alpha maior), que deve alcançar ou superar 95\% com um leve aumento de \alpha (ex.: \alpha entre 0{,}06 e 0{,}08). Esta alternativa dá mais redundância e menores perdas por ciclone.
  • Para efeito de especificação mecânica final, recomendo:
    • Se escolher N=2: prever material resistente a erosão, sistema de inspeção e válvulas by-pass; prever ventilador capaz de vencer perda de carga elevada.
    • Se escolher N=3: prever ciclones de corpo D\approx 0{,}15\\ \text{m} a 0{,}20\\ \text{m} com entradas tangenciais projetadas e cone longo; prever válvulas de desvio para manutenção (permite desativar 1 ciclone e seguir com 2).
  • Comentário final didático: projetos de ciclones normalmente empregam curvas/nomogramas de Lapple ou modelos mais recentes (Muschelknautz, Barth, Leith & Licht) ou CFD para afinar \alpha. Em prova, o raciocínio esperado é: converter unidades, estimar U_t, usar equação exponencial de eficiência de Lapple, ajustar N e D até que \eta(d=40\\ \mu\text{m})>95\%. Eu mostrei esse processo e apresentei duas opções práticas.

Resposta

Opção A (compacta, maior velocidade): bateria com N=2 ciclones Lapple, cada um com Q_c=2500\\ \text{ft}^3/\text{min} ( =1{,}178\\ \text{m}^3/\text{s}), corpo aproximado D=0{,}20\\ \text{m}; eficiência estimada para d=40\\ \mu\text{m} \gtrsim 96{,}9\% (cumpre >95%).
Opção B (compromisso e redundância): bateria com N=3 ciclones Lapple, cada um com Q_c\approx 1667\\ \text{ft}^3/\text{min} ( =0{,}782\\ \text{m}^3/\text{s}), corpo D\approx 0{,}15\text{–}0{,}20\\ \text{m} e geometria otimizada ( \alpha maior), eficiência estimada \approx 95\% com leve aumento do coeficiente empírico (geometria adequada).

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