Questão 7
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas puntiformes,
e
, separadas por uma distância
. O momento de dipolo elétrico é definido como
, onde
é o vetor que aponta da carga negativa para a positiva.
(a) Deduza a expressão para o campo elétrico
em um ponto sobre o eixo do dipolo, a uma distância
do centro do dipolo, onde
.
(b) Deduza a expressão para o campo elétrico
em um ponto sobre a mediatriz do dipolo, a uma distância
do centro do dipolo, onde
.
© Compare a dependência com a distância
do campo de um dipolo com a do campo de uma carga puntiforme.
(a) Deduza a expressão para o campo elétrico
(b) Deduza a expressão para o campo elétrico
© Compare a dependência com a distância
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar o campo elétrico de um dipolo em dois pontos: (a) ao longo do eixo que une as cargas e (b) na mediatriz (eixo perpendicular), sempre no caso “distância grande” (r ≫ d). Depois © a gente compara como cai o campo em r no dipolo versus uma carga pontual. A matéria aqui é eletrostática: Lei de Coulomb, princípio da superposição e expansão binomial para aproximar quando r ≫ d. Vamos usar também o vetor momento de dipolo
.
Passo 2
(a) Campo no eixo do dipolo
- Definindo: cargas +q em
, –q em , ponto P em com . - Campo de +q em P:
Campo de –q em P (atrai para –q, ou seja, também para a direita):
- Superposição:
- Aproximação para
: usar expansão binomial
então
- Reconhecendo
:
Passo 3
(b) Campo na mediatriz (eixo perpendicular)
- Novamente cargas em
, ponto P em . Distância até cada carga:
- Campo de cada carga tem componente horizontal e vertical, mas as verticais se cancelam (uma aponta pra cima, a outra pra baixo) e as horizontais se somam, apontando do +q para o –q (isto é, na direção oposta ao vetor
). - Magnitude de cada campo:
com unidade vetorial na direção horizontal
.
4) Componente horizontal de cada um (multiplica por ) e somando:
4) Componente horizontal de cada um (multiplica por
- Para
, , logo
Passo 4
© Comparação com carga pontual
- Uma única carga pontual gera
. - O dipolo, tanto no eixo quanto na mediatriz, cai como
.
Então o campo de dipolo decai mais rápido (ordem) do que o de uma carga isolada ( ).
Resposta
(a)
ao longo do dipolo.
(b) oposto a
.
© O campo de um dipolo decai como , enquanto o de uma carga pontual decai como
.
(b)
© O campo de um dipolo decai como