Questão 7

Um dipolo elétrico consiste em duas cargas puntiformes, +q e -q, separadas por uma distância d. O momento de dipolo elétrico é definido como p=q d, onde d é o vetor que aponta da carga negativa para a positiva.
(a) Deduza a expressão para o campo elétrico E em um ponto sobre o eixo do dipolo, a uma distância r do centro do dipolo, onde r gg d.
(b) Deduza a expressão para o campo elétrico E em um ponto sobre a mediatriz do dipolo, a uma distância r do centro do dipolo, onde r gg d.
© Compare a dependência com a distância r do campo de um dipolo com a do campo de uma carga puntiforme.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o campo elétrico de um dipolo em dois pontos: (a) ao longo do eixo que une as cargas e (b) na mediatriz (eixo perpendicular), sempre no caso “distância grande” (r ≫ d). Depois © a gente compara como cai o campo em r no dipolo versus uma carga pontual. A matéria aqui é eletrostática: Lei de Coulomb, princípio da superposição e expansão binomial para aproximar quando r ≫ d. Vamos usar também o vetor momento de dipolo .

Passo 2

(a) Campo no eixo do dipolo
  1. Definindo: cargas +q em E+ ;=; k,q(r - tfrac d2)^2para a direita , –q em E- ;=; k,q(r + tfrac d2)^2para a direita , ponto P em Erm total = E+ - E- = k,qgl[1(r - tfrac d2)^2-1(r + tfrac d2)^2gr] com 1(r pm tfrac d2)^2 approx 1r^2l(1 mp drr), .
  2. Campo de +q em P:
Erm total approx k,ql[1r^2l(1+tfrac d rr) -1r^2l(1-tfrac d rr)r] = k,q,2dr^3
Campo de –q em P (atrai para –q, ou seja, também para a direita):
boxedErm eixo = 14pivarepsilon0,2pr^3(ao longo do dipolo)
  1. Superposição:
  1. Aproximação para : usar expansão binomial
então
  1. Reconhecendo :

Passo 3

(b) Campo na mediatriz (eixo perpendicular)
  1. Novamente cargas em R=raizr^2+(d/2)^2 , ponto P em E0 = k,qR^2, . Distância até cada carga:
Erm total =2,E0,d/2R =2,k,qR^2,d/2R = k,q,dR^3
  1. Campo de cada carga tem componente horizontal e vertical, mas as verticais se cancelam (uma aponta pra cima, a outra pra baixo) e as horizontais se somam, apontando do +q para o –q (isto é, na direção oposta ao vetor boxedErm mediatriz = 14pivarepsilon0,pr^3(direção oposta a vec p) ).
  2. Magnitude de cada campo:
com unidade vetorial na direção horizontal .
4) Componente horizontal de cada um (multiplica por ) e somando:
  1. Para , , logo
çã

Passo 4

© Comparação com carga pontual
  • Uma única carga pontual gera
    .
  • O dipolo, tanto no eixo quanto na mediatriz, cai como .
    Então o campo de dipolo decai mais rápido (ordem ) do que o de uma carga isolada ( ).

Resposta

(a) ao longo do dipolo.
(b) oposto a .
© O campo de um dipolo decai como , enquanto o de uma carga pontual decai como .

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