Questão 2: Simetria e Campo Elétrico

Considere um anel de raio “R” com uma carga “Q” distribuída uniformemente. No centro do anel, o campo elétrico é nulo por simetria.
  • Se cortarmos um pequeno segmento do anel de comprimento ds (ds<<R), determine o novo campo elétrico no centro do anel em termos de \mathrm{Q}, \mathrm{R} e ds. Explique a direção e o sentido do vetor resultante sem realizar integrais complexas, usando apenas o princípio da superposição.

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio R com carga total Q distribuída uniformemente. Originalmente o campo elétrico no centro é nulo por simetria (o anel inteiro). Em seguida cortamos um pedacinho do anel de comprimento ds com ds\ll R. A pergunta pede: qual é o novo campo elétrico no centro em termos de Q, R e ds, e qual a direção e sentido do vetor resultante — usando superposição e sem integrais complicadas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Raio do anel: R.
  • Carga total do anel antes do corte: Q.
  • Comprimento removido: ds, com ds\ll R.
  • Distribuição original: uniforme ao longo do anel.
  • Pede-se o campo no centro após a remoção do segmento.

Passo 2

Primeiro cálculo fácil: densidade linear de carga do anel (carga por unidade de comprimento). Como a carga Q está uniformemente distribuída ao longo do comprimento total 2\pi R, define-se
\lambda=\frac{Q}{2\pi R}.
Portanto a carga do pequeno segmento removido é
dq=\lambda\,ds=\frac{Q}{2\pi R}\,ds.
Comentário didático: \lambda tem unidades de carga por comprimento (C/m). Como ds é pequeno, dq é a carga associada a esse pedacinho.

Passo 3

Use o princípio da superposição (a ferramenta mágica que salva tempo): o campo total devido ao anel inteiro (antes do corte) é zero no centro. Esse campo é a soma vetorial do campo produzido pelo pedaço removido mais o campo produzido pelo resto do anel. Em símbolos:
\vec{E}_{\text{anel inteiro}}=\vec{E}_{\text{resto}}+\vec{E}_{\text{segmento}}=0.
Logo
\vec{E}_{\text{resto}}=-\vec{E}_{\text{segmento}}.
Isto é fundamental e evita qualquer integral: o campo que fica depois de remover o pedaço é simplesmente o oposto do campo que esse pedaço produziria se estivesse lá.

Passo 4

Aproximação válida e simples: como ds\ll R, o segmento é “pequeno” comparado ao raio, então, visto do centro, ele pode ser tratado como uma carga pontual dq localizada aproximadamente a distância R do centro. Para uma carga pontual dq a distância R do ponto onde se quer o campo, a lei de Coulomb dá o módulo do campo
E_{dq}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R^2}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante de Coulomb. Explicando a fórmula: a intensidade do campo criado por uma carga pontual diminui com o quadrado da distância e é proporcional à própria carga.
Quanto à direção do \vec{E}_{\text{segmento}}: para dq>0 (carga positiva), o campo no centro devido ao segmento aponta na direção do centro se observado a partir do segmento (isto é, aponta do segmento para o centro). Em linguagem mais simples: o campo criado por uma carga positiva no interior aponta “para dentro” em direção ao centro; para carga negativa invertese o sentido.

Passo 5

Agora aplicamos o item do Passo 3: o campo resultante após remover o segmento é o negativo do campo que o segmento teria produzido. Assim, usando a unidade vetorial \hat r que aponta do centro do anel para a posição do segmento removido (ou seja, \hat r sai do centro na direção do buraco), podemos escrever
\vec{E}_{\text{resto}}=-\vec{E}_{\text{segmento}}.
Mas \vec{E}_{\text{segmento}}, segundo o Passo 4, tem módulo \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2} e aponta de fora para o centro, ou seja é -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\hat r. Portanto
\vec{E}_{\text{resto}}=-\Big(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R^2}\hat r\Big) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R^2}\hat r.
Interpretação física simples: depois de tirar um pedacinho de carga positiva, o campo resultante no centro aponta na direção do buraco (do centro para o lugar onde a carga foi removida). Se Q fosse negativo o mesmo raciocínio dá um campo com direção trocada (ver nota abaixo).

Passo 6

Substituímos dq=\dfrac{Q}{2\pi R}\,ds na expressão anterior para obter o resultado final em termos de Q, R e ds:
\vec{E}_{\text{resto}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}\left(\frac{Q}{2\pi R}\,ds\right)\hat r =\frac{Q\,ds}{8\pi^2\varepsilon_0 R^3}\,\hat r.
Observações finais:
  • Esta expressão é uma aproximação válida para ds\ll R. Correções de ordem (ds/R)^2 apareceriam se se considerasse a extensão do segmento em vez de tratá‑lo como pontual.
  • O sentido do vetor \hat r foi escolhido do centro para onde o segmento foi removido; o campo resultante aponta nessa direção para Q>0. Se Q<0 inverte o sentido.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{Q\,ds}{8\pi^2\varepsilon_0 R^3}\,\hat r
Direção e sentido: \hat r é o versor que aponta do centro do anel em direção ao segmento removido; para Q>0 o campo resultante aponta do centro para o buraco (para o lugar do segmento removido).

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