Questão 2: Simetria e Campo Elétrico
Considere um anel de raio “R” com uma carga “Q” distribuída uniformemente. No centro do anel, o campo elétrico é nulo por simetria.
- Se cortarmos um pequeno segmento do anel de comprimento ds (ds<<R), determine o novo campo elétrico no centro do anel em termos de
e ds. Explique a direção e o sentido do vetor resultante sem realizar integrais complexas, usando apenas o princípio da superposição.
Passo 1
O enunciado dá um anel de raio
com carga total
distribuída uniformemente. Originalmente o campo elétrico no centro é nulo por simetria (o anel inteiro). Em seguida cortamos um pedacinho do anel de comprimento
com
. A pergunta pede: qual é o novo campo elétrico no centro em termos de
,
e
, e qual a direção e sentido do vetor resultante — usando superposição e sem integrais complicadas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Raio do anel:
. - Carga total do anel antes do corte:
. - Comprimento removido:
, com . - Distribuição original: uniforme ao longo do anel.
- Pede-se o campo no centro após a remoção do segmento.
Passo 2
Primeiro cálculo fácil: densidade linear de carga do anel (carga por unidade de comprimento). Como a carga
está uniformemente distribuída ao longo do comprimento total
, define-se
Portanto a carga do pequeno segmento removido é
Comentário didático:
tem unidades de carga por comprimento (C/m). Como
é pequeno,
é a carga associada a esse pedacinho.
Passo 3
Use o princípio da superposição (a ferramenta mágica que salva tempo): o campo total devido ao anel inteiro (antes do corte) é zero no centro. Esse campo é a soma vetorial do campo produzido pelo pedaço removido mais o campo produzido pelo resto do anel. Em símbolos:
Logo
Isto é fundamental e evita qualquer integral: o campo que fica depois de remover o pedaço é simplesmente o oposto do campo que esse pedaço produziria se estivesse lá.
Passo 4
Aproximação válida e simples: como
, o segmento é “pequeno” comparado ao raio, então, visto do centro, ele pode ser tratado como uma carga pontual
localizada aproximadamente a distância
do centro. Para uma carga pontual
a distância
do ponto onde se quer o campo, a lei de Coulomb dá o módulo do campo
Aqui
é a permissividade do vácuo e
é a constante de Coulomb. Explicando a fórmula: a intensidade do campo criado por uma carga pontual diminui com o quadrado da distância e é proporcional à própria carga.
Quanto à direção do
: para
(carga positiva), o campo no centro devido ao segmento aponta na direção do centro se observado a partir do segmento (isto é, aponta do segmento para o centro). Em linguagem mais simples: o campo criado por uma carga positiva no interior aponta “para dentro” em direção ao centro; para carga negativa invertese o sentido.
Passo 5
Agora aplicamos o item do Passo 3: o campo resultante após remover o segmento é o negativo do campo que o segmento teria produzido. Assim, usando a unidade vetorial
que aponta do centro do anel para a posição do segmento removido (ou seja,
sai do centro na direção do buraco), podemos escrever
Mas
, segundo o Passo 4, tem módulo
e aponta de fora para o centro, ou seja é
. Portanto
Interpretação física simples: depois de tirar um pedacinho de carga positiva, o campo resultante no centro aponta na direção do buraco (do centro para o lugar onde a carga foi removida). Se
fosse negativo o mesmo raciocínio dá um campo com direção trocada (ver nota abaixo).
Passo 6
Substituímos
na expressão anterior para obter o resultado final em termos de
,
e
:
Observações finais:
- Esta expressão é uma aproximação válida para
. Correções de ordem apareceriam se se considerasse a extensão do segmento em vez de tratá‑lo como pontual. - O sentido do vetor
foi escolhido do centro para onde o segmento foi removido; o campo resultante aponta nessa direção para . Se inverte o sentido.
Resposta
Direção e sentido:
é o versor que aponta do centro do anel em direção ao segmento removido; para
o campo resultante aponta do centro para o buraco (para o lugar do segmento removido).