Questão 7. Qual a distância entre as retas r_{1}:(x, y, z)=(1,2,-2)+t(1,2,-6) e r_{2}: y=2 x+1, z=-x ?
0/4
(1.1) \frac{|-1|}{\sqrt{5}}
□ Nenhuma
V \frac{|-5|}{\sqrt{125}}
\square \frac{|24|}{\sqrt{5}} \frac{|-4|}{\sqrt{80}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A reta r_{1} está na forma paramétrica:
(x,y,z)=(1,2,-2)+t(1,2,-6).
Dessa expressão peguei o ponto da reta r_{1}: P_1=(1,2,-2) e o vetor direção \mathbf{v}_1=(1,2,-6).
  • A reta r_{2} é dada por:
y=2x+1,\qquad z=-x.
Para trabalhar vetorialmente, parametrizei com s tomando x=s. Assim um ponto geral de r_{2} é
(x,y,z)=(s,2s+1,-s)=(0,1,0)+s(1,2,-1).
Dessa parametrização peguei o ponto P_2=(0,1,0) (quando s=0) e o vetor direção \mathbf{v}_2=(1,2,-1).
  • O que o enunciado pede: a distância entre as retas r_{1} e r_{2} (isto é, a menor distância entre um ponto de r_1 e um ponto de r_2).

Passo 2

Escolha do método e ideia geométrica (de forma bem clara e intuitiva).
  • Método usado: fórmula vetorial clássica para a distância entre duas retas não paralelas no espaço:
d=\frac{\bigl|(\overrightarrow{P_2P_1})\cdot(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\|}.
  • Intuição por trás da fórmula (rápida e útil para prova): o vetor \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 é perpendicular a ambos os vetores direção e sua norma \|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. O produto escalar (\overrightarrow{P_2P_1})\cdot(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2) (valor absoluto) é o volume do paralelepípedo formado por \overrightarrow{P_2P_1},\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2. Dividindo esse volume pela área da base (o paralelogramo de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2) obtemos a altura, que é exatamente a distância entre as retas. É um raciocínio geométrico direto e rápido para lembrar na prova.

Passo 3

Verificar que as retas não são paralelas (condição para aplicar a fórmula sem ambiguidade).
  • Comparando \mathbf{v}_1=(1,2,-6) e \mathbf{v}_2=(1,2,-1): as razões das componentes seriam 1/1=1, 2/2=1, e -6/(-1)=6. Como as razões não são todas iguais, os vetores não são múltiplos escalares; logo as retas não são paralelas. Podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 passo a passo.
Use a definição via determinante:
\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & -6 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.
Computando as componentes:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i} &: 2\cdot(-1)-(-6)\cdot2 = -2-(-12)=10,\\[4pt] \text{componente } \mathbf{j} &: 1\cdot(-1)-(-6)\cdot1 = -1-(-6)=5\\ (\text{lembre do sinal negativo ao montar o determinante}),\\[4pt] \text{componente } \mathbf{k} &: 1\cdot2-2\cdot1 = 2-2=0. \end{aligned}
Tomando cuidado com o sinal da componente \mathbf{j} (no desenvolvimento aparece um menos), o resultado final é
\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2=(10,-5,0).]

Passo 5

Calcular o produto escalar do deslocamento entre pontos com o produto vetorial (o numerador da fórmula).
  • Vetor deslocamento de P_1 para P_2:
\overrightarrow{P_2P_1}=P_1-P_2=(1,2,-2)-(0,1,0)=(-1,-1,2).
  • Produto escalar com \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2:
(\overrightarrow{P_2P_1})\cdot(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)=(-1,-1,2)\cdot(10,-5,0)=(-1)\cdot10+(-1)\cdot(-5)+2\cdot0=-10+5+0=-5.
Valor absoluto: \bigl|(\overrightarrow{P_2P_1})\cdot(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)\bigr|=|-5|=5.

Passo 6

Calcular a norma \|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\| (denominador) e obter a distância final.
  • Norma:
\|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\|=\sqrt{10^{2}+(-5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}.
  • Distância:
d=\frac{5}{\sqrt{125}}.
Simplificando \sqrt{125}=5\sqrt{5}, temos
d=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Observação prática: isso é equivalente a \dfrac{|-1|}{\sqrt{5}} ou a \dfrac{|-5|}{\sqrt{125}}, que aparecem nas alternativas; todas representam o mesmo número.

Resposta

\dfrac{|-1|}{\sqrt{5}}

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