Questão 7. Qual a distância entre as retas r_{1}:(x, y, z)=(1,2,-2)+t(1,2,-6) e r_{2}: y=2 x+1, z=-x ?
0/4
(1.1) \frac{|-1|}{\sqrt{5}}
□ Nenhuma
V \frac{|-5|}{\sqrt{125}} \square \frac{|24|}{\sqrt{5}} □ \frac{|-4|}{\sqrt{80}}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A reta r_{1} está na forma paramétrica:
(x,y,z)=(1,2,-2)+t(1,2,-6).
Dessa expressão peguei o ponto da reta r_{1}: P_1=(1,2,-2) e o vetor direção \mathbf{v}_1=(1,2,-6).
A reta r_{2} é dada por:
y=2x+1,\qquad z=-x.
Para trabalhar vetorialmente, parametrizei com s tomando x=s. Assim um ponto geral de r_{2} é
(x,y,z)=(s,2s+1,-s)=(0,1,0)+s(1,2,-1).
Dessa parametrização peguei o ponto P_2=(0,1,0) (quando s=0) e o vetor direção \mathbf{v}_2=(1,2,-1).
O que o enunciado pede: a distância entre as retas r_{1} e r_{2} (isto é, a menor distância entre um ponto de r_1 e um ponto de r_2).
Passo 2
Escolha do método e ideia geométrica (de forma bem clara e intuitiva).
Método usado: fórmula vetorial clássica para a distância entre duas retas não paralelas no espaço:
Intuição por trás da fórmula (rápida e útil para prova): o vetor \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 é perpendicular a ambos os vetores direção e sua norma \|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. O produto escalar (\overrightarrow{P_2P_1})\cdot(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2) (valor absoluto) é o volume do paralelepípedo formado por \overrightarrow{P_2P_1},\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2. Dividindo esse volume pela área da base (o paralelogramo de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2) obtemos a altura, que é exatamente a distância entre as retas. É um raciocínio geométrico direto e rápido para lembrar na prova.
Passo 3
Verificar que as retas não são paralelas (condição para aplicar a fórmula sem ambiguidade).
Comparando \mathbf{v}_1=(1,2,-6) e \mathbf{v}_2=(1,2,-1): as razões das componentes seriam 1/1=1, 2/2=1, e -6/(-1)=6. Como as razões não são todas iguais, os vetores não são múltiplos escalares; logo as retas não são paralelas. Podemos aplicar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 passo a passo.
Observação prática: isso é equivalente a \dfrac{|-1|}{\sqrt{5}} ou a \dfrac{|-5|}{\sqrt{125}}, que aparecem nas alternativas; todas representam o mesmo número.