Questão 1. Qual é a equação da reta que contém o ponto (3,1,-1) e é paralela à reta r : \frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{4}=\frac{-3+z}{-5} ?
0/4
\frac{x-8}{5}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{5}
\frac{x-8}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+6}{3}
\frac{x-8}{15}=\frac{y-5}{12}=\frac{z+6}{-15}
\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}
\frac{x-3}{5}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5}
□ Nenhuma

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um ponto que a reta procurada precisa conter: (3,1,-1).
  • Uma reta r dada na forma simétrica: \dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{-3+z}{-5}.
O que pede: escrever a equação da reta que passa por (3,1,-1) e é paralela à reta r.

Passo 2

Entender a forma simétrica e extrair o vetor diretor.
A forma simétrica padrão de uma reta é
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é um vetor diretor da reta. Ou seja, os denominadores dão as componentes do vetor diretor.
No caso dado, note que -3+z = z-3. Então a reta r está na forma
\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{-5}.
Portanto o vetor diretor de r é
\vec{v}=(5,4,-5).
Explicando rápido: dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro; assim qualquer reta paralela a r terá vetor diretor proporcional a (5,4,-5).

Passo 3

Construir a reta que passa por (3,1,-1)\) com direção \(\vec{v}=(5,4,-5)\) em forma paramétrica. Seja \(t\) o parâmetro; então: \[\begin{cases} x=3+5t,\\[4pt] y=1+4t,\\[4pt] z=-1-5t. \end{cases}
Aqui cada equação significa: partindo do ponto (3,1,-1)\] e andando \(t vezes o vetor \vec{v}, obtém-se qualquer ponto da reta. Por exemplo, para t=0 volta ao ponto dado; para t=1 chega ao ponto (8,5,-6).]

Passo 4

Converter a forma paramétrica para forma simétrica. Da paramétrica isolamos t:
t=\frac{x-3}{5}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-5}.
Portanto uma forma simétrica da reta procurada é
\frac{x-3}{5}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-5}.
Observação sobre sinais/equivalências: pode-se multiplicar todas as frações por -1 (isto é, trocar t por -t) e obter uma forma equivalente
\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+1}{5},
mas ambas representam a mesma reta (apenas o parâmetro muda de sentido). O importante é que o vetor diretor seja proporcional a (5,4,-5) e que a reta passe por (3,1,-1).

Passo 5

Verificação rápida:
  • Se eu tomo a primeira fração e defino t=\dfrac{x-3}{5}, então y=1+4t \dfrac{y-1}{4}=t (coincide) e z=-1-5t \dfrac{z+1}{-5}=t (coincide). Logo as três frações são iguais ao mesmo t — consistência confirmada.
  • A reta é paralela a r porque ambas têm vetor diretor proporcional a (5,4,-5).

Resposta

\dfrac{x-3}{5}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+1}{-5}

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